急いでいます 数学の問題

△ABCの重心をGとし、→BA=→a,→BC=→cとするとき

㈠→BGを→a,→cを用いて表せ。

㈡BP:PA=2:3となる点Pを辺AB上にとり、直線PGと直線BCが交わる点をQとする。→BQを→cを用いて表せ。

わからないのでよろしくおねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/12/01 19:55

三角形の重心は、各頂点と対辺の中点とを結ぶ直線の交点で、その直線を2：1に分割する点です。

この事実が分かれば、（１）は解けるはず。

（１）辺BAの中点をM、辺BCの中点をNとすれば、
　　　→BM = (1/2)→BA
　　　→BN = (1/2)→BC
なので、
　　　→BG = →BM + →MG = (1/2)→BA + (1/3)→MC
ここで
　　　→MC = →BC - →BM = →c - (1/2)→a
を使えば、
　　　→BG = (1/2)→a + (1/3)[ →c - (1/2)→a ]
　　　　　 = (1/3)→a + (1/3)→c

他のルート、例えば
　　　→BG = →BN + →NG = (1/2)→BC + (1/3)→NA
を使っても、結果は同じです。

（２）→BP = (2/5)→a ですから、（１）の結果を使うと、
　　　→BG = →BP + →PG = (2/5)→a + →PG = (1/3)→a + (1/3)→c
より、
　　　→PG = (-1/15)→a + (1/3)→c
になります。これを「n倍」に延長して、直線BCが交わる点がQなので、
　　　→BQ = →BP + →PQ = (2/5)→a + n→PG
　　　　　 = [(2/5)+(-n/15)]→a + (n/3)→c
Qは→BCの延長線上なので、→a の係数が「ゼロ」になるのは n=6 のときで、このとき
　　　→BQ = 2→c

もっと簡単な解き方があるかもしれません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/01 14:37

どこがどうわからないのでしょうか?