単位正方形を8個詰め込める円

単位正方形（1辺の長さが1の正方形）を8個詰め込むことが出来る最小の円の半径と，そのときの正方形の詰め込み方を教えてください。

No.7 ベストアンサー 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/12/22 22:15

<回答No.6

nbh02001さん，ありがとうございます．この模範解答は参考URLにありましたが，掲載期間が2014年1月17日までだったので，該当部分を添付画像でつけます．

数値は回答No.4でtakafiro974さんがすでに出しているものと同じですが肝心の最小性の説明がまったくありませんね．(これでいいのか，数学検定協会の模範回答が?)
## 誰かこの答えが本当に正しいのか証明/反証をつけてくれませんか．

参考URL：http://www.su-gaku.net/pdf//6answer2013121711141 …

この回答へのお礼

ご多忙の中，多数の回答ありがとうございました。（お返事遅くなり失礼いたしました。）

　お礼はベストアンサーに選ばせていただいた方のみに記しておきますが，これをもちまして回答をいただいた方々すべてへのお礼とさせていただけますと幸いです。今後ともよろしくお願い申し上げます。

お礼日時：2014/01/02 20:46

No.6 回答者： nbh02001 回答日時： 2013/12/22 09:01

No.2様

これは12/7第246回数学検定2級2次で出題された問題です。

No.5 回答者： takafiro974 回答日時： 2013/12/15 15:27

（今回の回答は　惜しい例です）

正方形をずらした　穴のある並べ方では
ずらした長さが5/22のとき
半径(4381/3124)√２≒1.98324891701553…
　となり
前出√2257/24≒1.97949558670328…より小さくなりません。

No.4 回答者： takafiro974 回答日時： 2013/12/10 23:35

No.3です　訂正です。

×誤　√2577/24
○正　√2257/24

No.3 回答者： takafiro974 回答日時： 2013/12/10 23:26

（方眼紙に手描きで　円も歪んでいて　申し訳ない）

（これで最小の自信もなし）
no.1さんをヒントに正方形２個を1/2ずらすと
半径√2577/24≒1.979495586…　に入ります。

半径√2577/24は
直角を挟む2辺が
31/24, 3/2の直角三角形　
41/24, 1 の直角三角形
の斜辺の長さ（一緒）です。

No.2 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/12/10 22:24

この回答では条件を満たす最小の円の半径r*を与えたりはしていません．その意味でこれは「回答」になっていませんが，ご寛恕ください．

この問題がどこで出されたのか，あるいはご自分で考えたのかは知りませんが，この問題から連想された古典的な問題があります：「球充填問題」や「接吻数問題」です．起源がニュートンに求められるような由緒正しい（？）問題でかんたんに述べられる割には回答が難しい（一般次元では恐らく未解決のまま！）ものです．この問題も似た雰囲気を感じたので最初から最小性の証明は諦めて円の半径の下界と上界を与えることにします．（何か見落としているだけで，意外とかんたんかもしれませんが．）

まずr*の下界を与えます．円は8個の正方形を含んでいるのだから，その面積を比べれば
8 ≦ 2πr*^2, よってr* > 0 なので
2/√π ≦ r*
が得られます．

次に上界を与えます．実際に添付画像にあるような配置を考えれば中心が赤い点で，そこから最も遠いのは黄色で描かれた線分の端点なので，半径はピタゴラスの定理を使えば√(17)/2です．よって
r* ≦ √(17)/2
とわかります．

以上から大体
1.1 < r* < 2.1
くらいです．

No.1 回答者： t-jentil 回答日時： 2013/12/10 20:59

おそらくですが3×3に並べて左端かどこか端を抜いた8個が一番小さくなります

そうすると直径は正方形の対角線3つ分なので３√2です

半径は2分の3√2になります

まだgooをはじめたばかりで至らない点もあるかと思いますがお役に立てたら嬉しいです