数学I 図形問題 センタープレ問題の一部

三角形ABCは　AB＝２　AC＝√７　CA＝３　をみたし、
この三角形の外接円の中心をOとする。

角BAC＝60度　で、外接円の半径は３分の√２１　である。
BCの中点をMとし、直線OMと外接円の交点のうち直線ACに関して点Bの反対側に点Dをとる。
このとき、OM＝６分の√２１　三角形BCDの面積は　４分の７√３　である。

さらに、点Aにおける外接円の接線と直線BCの交点をEとおく。EA＝x EB＝ｙ　とおくと、
方べきの定理より　x2乗＝ｙ2乗＋ｙ√７
また、接弦定理より　角ACE＝角BAE　が成り立つため
三角形EAB　と　三角形ECA　は相似である。

ここでEA：EB＝３：２になるはずなのですが、理由がわかりません。
解説書をみると、
EA：EB＝AC：BAが成り立つと書いてありましたが、
なぜ成り立つのかわかりません。

長い文章ですが、どなたかご回答お願いします。

No.1 回答者： mizuwa 回答日時： 2013/12/19 00:46

●まず、回答がつかなかったのは、冒頭の

「三角形ABCは　AB＝２　AC＝√７　CA＝３　をみたし、」で、

問題に矛盾があったためのようです。後を解いてみて・・・

「三角形ABCは　AB＝２　BC＝√７　CA＝３　をみたし、」とすると

良いようです。

●次にご質問の
「ここでEA：EB＝３：２になるはずなのですが、理由がわかりません。」
「解説書をみると、EA：EB＝AC：BAが成り立つと書いてありましたが、」
「なぜ成り立つのかわかりません。」

ですが、その直前？の

「三角形EAB　と　三角形ECA　は相似である。」があるので

【相似な図形の対応する辺の比は等しい】ということが根拠です

●この部分を整理すると

△ＥＣＡ∽△ＥＢＡより、対応する辺の比が等しく
・・・ＥＡ：ＥＢ＝ＡＣ：ＢＡ

さらに、仮定より、ＡＣ＝ＣＡ＝3，ＢＡ＝ＡＢ＝2なので
・・・ＥＡ：ＥＢ＝3：2

という感じの流れになっていると思います。

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/19 01:00

まず

誤＞　三角形ABCは　AB＝２　AC＝√７　CA＝３　をみたし、

はどう見ても、

正＞　三角形ABCは　AB＝２　BC＝√７　CA＝３　をみたし、

のミスタイプですよね

No.3 回答者： adachirusan 回答日時： 2013/12/19 01:17

X：Y は三角形EABのEA：EBなので、三角形ECAのEC：EAだと思っていませんか。

対応する辺で考えると、大きい三角形と小さい三角形の辺の比だと分かると重いますよ。
AB：ACは三角形EABと三角形ECAの短い辺同士の比です。

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/19 07:13

「三角形EAB　と　三角形ECA　は相似」 ですので

EA：EB＝EC：EA　も EA：AC＝EB：BA も成り立ちます

BA = AB = 2、AC = 3
EA = x、EB = y

ですので、

x：y＝(y + √7)：x　も x：3＝y：2

も成り立ちます

EA：EB = ｘ：ｙ

を知りたいのであれば、x：3＝y：2

から x：y＝3：2 とすぐわかります

EB＝EC：EA の方から考えちゃうと難しいです

No.5 ベストアンサー 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/19 10:56

解答：

【０】 問題文の１行目にミスタイプがあり、訂正してから解答します

誤：　三角形ABCは　AB＝２　AC＝√７　CA＝３
正：　三角形ABCは　AB＝２　BC＝√７　CA＝３

【１】角BAC の角度は

　余弦定理　a2 = b2 + c2 － 2bc cos α　から導けます

　a に BC、b に CA、c に AB を代入すると

　(√7）^2 ＝ 2^2 - 2 × 3^ 2 ・ cosα
　7 ＝ 4 ＋ 9 + 12・ cosα
　cosα ＝ 1/2、α ＝ π/3 ＝ 60度　→　角BAC ＝ 60度

　円周角の定理から 角 BAC ＝ 角BDC ＝ 60度
　三角形 DBC は二等辺三角形なので
　角ABC ＝ 角DCB ＝ (180 - 60 ) / 2 ＝ 60度
　と 三角形 DBC は正三角形であることがわかります

【２】外接円の半径は

　正弦定理　BC / sin α ＝ 2R を用い

　√7 / sin (π/3） ＝ 2R

　R ＝ √7 / √3 ＝ √21 / 3

【３】角 OCB は 角 DCB の半分なので 30度なので
　OM ＝ OC sin 30度 ＝ R X （1/2）＝ √21 / 6

【４】 三角形 BCD の高さは DC sing 60度 ＝ √7 ・ （√3 / 2）
　三角形 BCD の面積は 1/2 ・ √7 ・ √7 ・（√3 / 2）
　　＝ （7 / 4）√7

【５】 方べきの定理 より　EA ^2 ＝ EB ・ EC
　x^2 ＝ y（y ＋ √7）＝ y^2 ＋ y √7

【６】接弦定理より　角ACE＝角BAE　となり、
　三角形EAB　と　三角形ECA　は相似です
　したがって、EB：BA ＝ EA：AC
　　　　　　　y ： 2 ＝ x ： 3
　　　　　　　x ： y ＝ 3：２
　　　　　　　EA：EB ＝ ３：２