球の表面積と体積の公式の関連性について

球の表面積＝4πr^2　　…(1)
球の体積＝(4/3)πr^3　…(2)
ですが、
(1)→(積分)→(2)
(2)→(微分)→(1)
という関係が成り立ちますね。これって単なる偶然ですか？それとも必然ですか？
もし必然ならどうしてこうなるのかわかりやすく教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2014/01/08 15:49

＞それとも必然ですか？

必然です。

半径１０ｃｍの球の体積は、半径０ｃｍ～半径１０ｃｍの球の表面積をすべて足した値になります。

「半径０ｃｍ～半径１０ｃｍの球の表面積をすべて足す」のは「積分」と同じですから

＞(1)→(積分)→(2)

になって当然です。ならないと困ります。

微分は積分の逆ですから、

＞(2)→(微分)→(1)

になって当然です。ならないと困ります。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/01/08 16:06

この話で何かにたとえるとしたら, 玉ねぎでかぶってもしょうがないでしょう＞#2. キャベツでかぶったら爆笑ものですが.

あと「球がすべて相似形」というところも押さえておくべきかな.

No.3 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2014/01/08 15:04

かぶっちゃいましたね

No.2 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2014/01/08 15:02

半径tの球(r≧t)を考えると、

∫[0→r]4πt^2dt
半径方向の積分となります。

イメージとしてはタマネギの皮の面積を積み重ねる感じですかね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。感謝します。

お礼日時：2014/01/08 18:49

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/01/08 14:56

玉ねぎを想像すればわかるかな.