高校数学言葉の意味（有界）

wikiで調べたのですが、有界の意味が捉えられません。
次の文脈ではどのような意味でつかわれているのか、教えてください。
今まで積分可能な関数ばかり取り上げてきた。実際受験生が目にする関数は連続であるか、区分的に連続だから、ほとんどすべての関数が積分可能になる。しかし、このままでは、何でも積分出来ると思われては困るので、有界なのに積分不可能な関数をあげておく。（例）０≦ｘ≦１で次のように定義される関数がある
ｆ（ｘ）＝１（xが有理数）；０（ｘが無理数）

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/12 22:54

僕は数学に「有解」 という言葉があるの、今回の質問で初めて知りました

tjag さん、すごい勉強してるのですね！

そこで、Wikipedia 有解
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%95%8C

を フムフム と読んで見ました

僕の単細胞の脳には疑問を感じることできませんでした

ところで、

｜　有界なのに積分不可能な関数をあげておく。
｜　（例）０≦ｘ≦１で次のように定義される関数がある

というのは、リーマン積分での話です

と偉そうに言っちゃいましたが、リーマン積分というのも
Wikipedia で初めて知りました

ルベーグ積分では積分できるみたいです

Wikipedia ルベーグ積分
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99% …

No.2 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2014/02/12 23:01

ある集合 X 上で定義される実数函数 f が有界函数であるとは、X 内のすべての x に対して |f(x)| ≦ M が成り立つようなある実数 M が存在することを言う。

以上，wikipediaの記事(参考URL)から必要な部分を抜き出して書きました．これは高校生でも理解できる定義だと思いますが，わからないところがありますか？

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/有界函数

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/02/12 23:23

上に有界とは関数f(x) がその定義域の中で f(x) <= a となる定数 a が存在すること。

下に有界とは関数f(x) がその定義域の中で f(x) >= b となる定数 b が存在すること。

この場合の有界とは上に有界かつ下に有界、つまり関数の値が取り得る範囲が有限ということですね。

No.4 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/13 09:20

簡単に言うとグラフで描いたとき

y=a

と交わらないaが存在することです

問題の例だと

y＝２はf（x）と交わらないので有界です。

y＝xはy＝aと絶対交わってしまうので有界ではありません。

簡単に言うとこの通りです。