再び、同じ小五の算数の問題です(^_^;)

円を内接させる正方形

円の半径は5cm

正方形の外周は何cmか?

これを数学できちんと解くには、円と接する直線は、その接点と中心とを結ぶ半径が直線と直角に交わる。という定理（あるいは事実）の証明が必須です。

では、この定理を用いずに解く、別の方法はありますか?

もし複数ありましたら、それも教えて頂けると幸いです

よろしくお願いします

No.1 回答者： maiko0318 回答日時： 2014/03/12 02:02

小5でしょ。

40センチ

この回答へのお礼

答えは質問していません

解法を質問しています

お礼日時：2014/03/12 02:19

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2014/03/12 06:45

円の直径が正方形の一辺に

等しい、という事実を使います。

No.3 回答者： teppou 回答日時： 2014/03/12 06:55

　前の質問にどのような回答が出るか興味深く注目していました。

　証明となると、中学生でもちょっと苦しいかもしれません。

　小学生向けに考えてみました。

　内接点は各辺の二等分点である。

　二等分点から円の中心に引いた線は、他の辺と平行である。

　ゆえに、最初の辺と直角である。

　接点を中心とした、半円を描くと分りやすいかもしれません。

この回答へのお礼

接点が辺の中点であることの証明がチョッと難しいのでは?

♯10さんの回答で解決しました

お礼日時：2014/03/12 16:43

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/12 07:21

前回の質問でも紹介した

平面図形
円の接線　説明
http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/te …

に

円の外にある1点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

というのもあります

「円 の接線 は，接点 を通る半径 に垂直になる」 という定理を使って証明される性質なので、これを使っちゃいけない？　反側？

この性質を使うと、頂点から円と接する接点までの長さは等しく、
正方形で対称ですので、どの頂点からの接点までの長さも等しく、
接点は各辺の中点となります

そうすると、対辺の接点を結んだ直線は辺からの高さが同じ
長方形の１辺で、正方形の１辺の長さと同じで、かつ、
円の直径となりますので、正方形の１辺の長さは、
円の直径 ＝ 5cm × 2 ＝ 10cm

では、納得してもらえないかなぁ？

manbowglass さんが納得できないの？

manbowglass さんの教えてる子供が納得してくれないの？

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/03/12 08:07

円は中心からの距離が一定の点の集合、正方形は4辺の長さが等しい長方体

正方形を縦横二回折ると4つの正方形ができる。
扇形の外接正方形ですから、常に円は内側にあるので・・

この回答へのお礼

♯10さんの回答で解決しました

お礼日時：2014/03/12 16:41

No.6 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/03/12 08:44

No.5です。

円の内接正方形、外接正方形だけでなく。三平方の定理も
　⇒三平方の定理 折り紙 - Google 検索( https://www.google.co.jp/search?q=%E4%B8%89%E5%B … )
　のようにたくさんの方法があります。

　ユークリッド幾何学は、あくまで定規とコンパスによる作図( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F% … )じゃないですが、公理から論理だけを使って説明していく数学の一分野に過ぎません。そのために証明の手法が制約されていますし、証明できる範囲も限られています。複雑な曲線などになると解析幾何学の手を借りることになります。ユークリッド幾何なんて実用的なのは三平方定理くらい。それよりも「論理を積み上げて高度な内容を説明していく」という数学的な考え方を学ぶための手段です。
　高校以降はユークリッドなんて使わないと言っても過言じゃないでしょう。

　ユークリッドだけが証明する手法じゃないです。ここを間違えてらっしゃるのじゃないかと・・。

この回答へのお礼

♯10さんの回答で解決しました

お礼日時：2014/03/12 16:41

No.7 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/12 09:32

No.4 です

No.4 に添付したように対辺の中点を結ぶ補助線を描くと
正方形の中に直径 5cm の小さな正方形が４つできます
これで、大きな長方形の直径 10cm、それが４つあるので
外周は 40cm というだけだと、ダメ？

子供により、躓く所が違うので、子供がどの段階で疑問
を抱いてるのか把握しないと、説明難しいです

この回答へのお礼

♯10さんの回答で解決しました

お礼日時：2014/03/12 16:40

No.8 回答者： usaginotawagoto 回答日時： 2014/03/12 09:40

前回の質問が締め切られてしまったので、こちらで回答させて頂きます。

質問の主旨は大体わかっていますよ。私は前回のNO1さんに対するあなたの補足での返答からうかがえる姿勢に対して意見を申したのです。

「定理的に取り合えず教えているのか」、「小学生でも理解できる擬似的な証明等を教えているのか」、「あるいは、その他、具体的にどうしているのか」と一応は小学生のことも考えて尋ねていらっしゃるかもしれませんが、一方で、「質問の問題は、円に接する直線が半径と直角に交わることを数学的に証明出来なければ、解くのは不可能なことは、数学が解る人には当然でしょう」と、あたかも（小学生にとっても）正しい証明が必要かのような意見なので、そこを一度ひいてみてみないとわからないのではないですか？と言っているのです。

この回答へのお礼

♯10さんの回答で解決しました

お礼日時：2014/03/12 16:40

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/03/12 10:06

質問がはっきりしませんよね。

小5という縛りの中で答えるのか？

それとも、厳密な公理系から、
完璧な証明を求めているのか？

ようするに、小５ということを無視してよいかです。

この回答へのお礼

♯10さんの回答で解決しました

お礼日時：2014/03/12 16:39

No.10 ベストアンサー 回答者： Mirindafanta 回答日時： 2014/03/12 10:44

頭固いなぁ　皆

定理とか証明とかどぉでもよくて、小五でも数学的に簡単に解ける問題ですよ

内接円だけを、横に5cmスライドさせてみてください。
脳内でもOK

すると、円の直径と正方形の一辺が完全に重なりあうでしょ!

あるいは、同じことだけど、正方形の任意の一辺の中点を中心とする半径5cmの円を描く

この円の直径も正方形の一辺と一致

半径5cmなので、内接円と合同（合同という単語は中学校からだから、小学生なら同じ形でもいいけど、概念は同じ）

これでめでたくご名答

異論ある方いたら、どうぞ

この回答へのお礼

目から鱗のご回答ありがとうございました

お礼日時：2014/03/12 16:38