正五角形と正六角形の関係

立方体の中心点と六つの稜（でよいのでしょうか）を結んでできるでこぼこの六角形（３次元的正六角形？）を平らにして頂角を分度器で測ってみると正五角形と同じようになることがわかったのですが、これは有名なサッカーボールの五角形と六角形の関係と同じものなのでしょうか。図形に興味があるのですが、数学が苦手なので考え方を教えていただければ幸いです。

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/27 10:16

文章を読んでイメージがわきません

まず「六つの稜」というのは、６つある正方形の１辺ですか？
立方体にはこの「辺」が １２あります。
１つの辺には、３本 平行な辺がありますが、
そのうち１番 遠い辺、３組を用いるのでしょうか？
だとすると端点の接する辺同士の角度は 90度です

あるいは「六つの対角線」ですか？
そうだとすると、正三角錐になってしまい、五角形、六回計では
ありません

この回答への補足

表現の仕方がまずかったと思います。立方体の３面を取り除いた自た容器のようなものをイメージしてください。この容器には水のようなものが入っているとします（これは本質的なことではありません。）この容器を両手で持っていろいろな角度から見ると正六角形に見える角度があります。この六角形は容器の縁を各辺とした正六角形ですが、この容器のふたとして使う場合には平らな紙で作るとすれば中心と頂点を結ぶ直線で折り曲げたものにしなければなりません。このような凸凹の六角形の頂角を計ると正五角形の頂角である７２度になったのです。

補足日時：2014/03/27 11:07

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/27 13:18

6つの角度が順に 90°-135°-135°-90°-135°-135° であるような等辺六角形を折れば蓋になるんだが....

「中心」ってどこだよ.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/27 13:26

あ, #2 では思いっきり勘違いしてた. 頭の中でイメージできてないなぁ....

ただ, ありそうな角度はどちらかというと cos^-1 1/3 だと思う.

この回答への補足

コサインのところがよくわかりませんでした。サッカーゴールの場合正六角形の頂角二つと五角形の頂角一つを足したものが球の一部になるようになっているのでしょうね。この立方体の場合にも同じようなことがあるのでしょうか。

補足日時：2014/03/27 13:34

この回答へのお礼

補足欄でボールとゴールをミス入力いたしました。どうも失礼いたしました。

お礼日時：2014/03/27 17:41

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/27 17:05

補足ありがとうございます

直方体の手前の３面をとっぱらった図を描いてみました

見る角度によっては、正六角形になりますね

でも、各辺の角度は 90°です

見る角度により、0°から 180°まで変化します

四角いメモ用紙を３枚、セロハンテープでくっつけて、
いろんな角度から見ましたが、五角形にはなりませんでした

この回答への補足

少し誤解されているようです。あなたの描かれた右の図を見ながら補足いたします。各稜と中心を結んだ六角形というのは３次元の図形です。この３次元の六角形を、例えば紙で作り稜を平面（二次元）にして計った（二次元の）正五角形の頂角７２度に近くなっているという意味です。これが近似的なものなのか、あるいはサッカーボールと同じような背景があってのことなのかというのが質問の趣意です。

補足日時：2014/03/27 17:35

No.5 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/27 17:18

正六角形、正五角形のサッカーボールの展開図 見つけ、

それを描くプログラムっぽいのありました

サッカーボール座標
http://d.hatena.ne.jp/ryamada/touch/searchdiary? …

この回答へのお礼

この六角形と五角形の関係が、本質問と関係があるかどうかという質問でした。紙でいくつも作っていますが、５角形の部分は隙間にしたほうが作りやすいし、造形的にも面白いと思っています。積分記号のようにひとつながりで作るのも面白いです。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2014/03/27 17:40

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/27 18:05

うん, やはり億劫がらずに絵を描くべきだった. #4 の図を見たらほぼ瞬殺だった....

「立方体の中心点」というのを「立方体の重心」のことだと思うと, 「中心」と #4 右図の周囲の赤線上にある 6個の頂点を結ぶことで 6個の二等辺三角形が得られる. その二等辺三角形の底角 2個分の角度を求めると....

うん, 正五角形とは無関係だ.

この回答への補足

おっしゃるところの二等辺三角形を二次元的に張り合わせたものと箱の一部になっていて折れ曲がっている（３次元的な）ものの角度は異なりますが、この辺を勉強してみます。

補足日時：2014/03/28 02:15

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/28 11:14

「二次元的に張り合わせたもの」の「もの」とか「箱の一部になっていて折れ曲がっている（３次元的な）もの」の「もの」って, なんですか

? そして, その「角度」ってなんですか?

この回答への補足

問題としている立方体を薄い紙で作ってみることにします。これを六角形のふたをした容器と考えます（汗！）この六角形のふたは平面的でなく波打っています（これを３次元的と書きました）。このふたの頂角の一つをはさんで適当な大きさに切り取った部分を平らにしたときの頂角が分度器で計ると７２度になっていたということです。

補足日時：2014/03/28 14:10

この回答へのお礼

ご迷惑をおかけいたします。補足欄に書かせていただきました。

お礼日時：2014/03/28 14:11

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/28 23:44

何をいっているのかわからない.

まず「六角形のふた」がどのようなものなのかがわからない. #4 右図のに対して頂点を通るように山折り/谷折りすれば「波打った」形になる. でも, そのような形をもとの質問文の「中心点と六つの稜（でよいのでしょうか）を結んでできるでこぼこの六角形」から読み取ることは不可能だ (「中心点」が無意味になるから). いったいどんな「蓋」を想定すればいいの?

さらに「このふたの頂角の一つをはさんで適当な大きさに切り取った部分を平らにしたときの頂角が分度器で計ると７２度になっていた」もさっぱりわからない. 「このふた」の形が理解できないのだからわかるはずはありえないのだが, 例えば「頂角」がどこかわからんし「平らにする」という操作も何をしているのかわからない. さらに「平らにしたときの頂角」もどこかわからん.

この回答へのお礼

すみません。Ｎｏ９の補足欄の数値を間違えました。分度器で得られた数値は７２度ではなく正五角形の頂角、１０８度でした。ＮＯ９の補足欄を送ってから気がつきました。

お礼日時：2014/03/29 17:50

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/29 01:17

日本語が変&言葉が足りてなかったので #8 のさいしょの「蓋」についてちょっと補足.

六角形の頂点に時計まわりに A～F と名前を付ける. で, B と F を結ぶ線で山折り, C と E を結ぶ線で谷折りにすれば「蓋」にはなるし, これならふつうに「波打っている」といえる. でも, それではもとの質問文における「中心点」が全く意味をなさない.

一方, さらに六角形の中心を O として OA, OB, ..., OF の 6本の線に従い順に山折り/谷折りを繰り返しても「蓋」にはなる. ただ, 今度はこれを「波打っている」というかどうかが疑問.

「六角形のふた」というのは, このうちのいずれかの形ですか? それとも, どちらでもないまた別の形状ですか? 後者 (また別の形状) だとしたら, 私にはどのような形なのか全く想像できないので絵を見せてください.

#8 後段については「わからない」のまま. 「頂角」からしてなんのことやらわからんのだから.

この回答への補足

おっしゃるところの後者を考えていました。波打つではなくジグザグのほうがよかったです。このでこぼこの６角形を薄い紙で作ったとするとでこぼこしていますが、たとえばＯＡにハサミで切れ目を入れて平ら（２次元でよろしいですか？）につぶすことができます。この平らにつぶした６角形の頂角が７２度だったということです。お分かりいただけたでしょうか。

補足日時：2014/03/29 04:49

この回答へのお礼

ご親切に指導いただき恐縮いたしております。補足欄にご指摘の点について私のかんがえていることを書いてみたのでよろしくお願いいたします。

お礼日時：2014/03/29 04:51

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2014/03/29 22:47

こゆことですかね？

図左：Gは立方体の重心。
図下：二等辺三角形（たとえば△GCD)の頂角θは約70.53°で、なるほど正五角形の72°に近い。
図右：「３次元的正六角形」（あるいは「ふた」）を線分XGで切り開いて平面に伸ばしたもの。正五角形に似てるけど違う。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございま。おっしゃることでした。このこととサッカーボールの２枚の六角形と一枚の五角形が作る稜を平らにつぶすと頂角の和が３４８度になるので３６０度に近いことと何か共通の理由があるかどうかというのが初めの疑問でした。数学的には無意味な疑問かもしれません。

お礼日時：2014/03/30 03:58