正五角形と正六角形の関係

立方体の中心点と六つの稜（でよいのでしょうか）を結んでできるでこぼこの六角形（３次元的正六角形？）を平らにして頂角を分度器で測ってみると正五角形と同じようになることがわかったのですが、これは有名なサッカーボールの五角形と六角形の関係と同じものなのでしょうか。図形に興味があるのですが、数学が苦手なので考え方を教えていただければ幸いです。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/27 18:05

うん, やはり億劫がらずに絵を描くべきだった. #4 の図を見たらほぼ瞬殺だった....

「立方体の中心点」というのを「立方体の重心」のことだと思うと, 「中心」と #4 右図の周囲の赤線上にある 6個の頂点を結ぶことで 6個の二等辺三角形が得られる. その二等辺三角形の底角 2個分の角度を求めると....

うん, 正五角形とは無関係だ.

この回答への補足

おっしゃるところの二等辺三角形を二次元的に張り合わせたものと箱の一部になっていて折れ曲がっている（３次元的な）ものの角度は異なりますが、この辺を勉強してみます。

補足日時：2014/03/28 02:15

No.5 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/27 17:18

正六角形、正五角形のサッカーボールの展開図 見つけ、

それを描くプログラムっぽいのありました

サッカーボール座標
http://d.hatena.ne.jp/ryamada/touch/searchdiary? …

この回答へのお礼

この六角形と五角形の関係が、本質問と関係があるかどうかという質問でした。紙でいくつも作っていますが、５角形の部分は隙間にしたほうが作りやすいし、造形的にも面白いと思っています。積分記号のようにひとつながりで作るのも面白いです。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2014/03/27 17:40

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/27 17:05

補足ありがとうございます

直方体の手前の３面をとっぱらった図を描いてみました

見る角度によっては、正六角形になりますね

でも、各辺の角度は 90°です

見る角度により、0°から 180°まで変化します

四角いメモ用紙を３枚、セロハンテープでくっつけて、
いろんな角度から見ましたが、五角形にはなりませんでした

この回答への補足

少し誤解されているようです。あなたの描かれた右の図を見ながら補足いたします。各稜と中心を結んだ六角形というのは３次元の図形です。この３次元の六角形を、例えば紙で作り稜を平面（二次元）にして計った（二次元の）正五角形の頂角７２度に近くなっているという意味です。これが近似的なものなのか、あるいはサッカーボールと同じような背景があってのことなのかというのが質問の趣意です。

補足日時：2014/03/27 17:35

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/27 13:26

あ, #2 では思いっきり勘違いしてた. 頭の中でイメージできてないなぁ....

ただ, ありそうな角度はどちらかというと cos^-1 1/3 だと思う.

この回答への補足

コサインのところがよくわかりませんでした。サッカーゴールの場合正六角形の頂角二つと五角形の頂角一つを足したものが球の一部になるようになっているのでしょうね。この立方体の場合にも同じようなことがあるのでしょうか。

補足日時：2014/03/27 13:34

この回答へのお礼

補足欄でボールとゴールをミス入力いたしました。どうも失礼いたしました。

お礼日時：2014/03/27 17:41

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/27 13:18

6つの角度が順に 90°-135°-135°-90°-135°-135° であるような等辺六角形を折れば蓋になるんだが....

「中心」ってどこだよ.

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/27 10:16

文章を読んでイメージがわきません

まず「六つの稜」というのは、６つある正方形の１辺ですか？
立方体にはこの「辺」が １２あります。
１つの辺には、３本 平行な辺がありますが、
そのうち１番 遠い辺、３組を用いるのでしょうか？
だとすると端点の接する辺同士の角度は 90度です

あるいは「六つの対角線」ですか？
そうだとすると、正三角錐になってしまい、五角形、六回計では
ありません

この回答への補足

表現の仕方がまずかったと思います。立方体の３面を取り除いた自た容器のようなものをイメージしてください。この容器には水のようなものが入っているとします（これは本質的なことではありません。）この容器を両手で持っていろいろな角度から見ると正六角形に見える角度があります。この六角形は容器の縁を各辺とした正六角形ですが、この容器のふたとして使う場合には平らな紙で作るとすれば中心と頂点を結ぶ直線で折り曲げたものにしなければなりません。このような凸凹の六角形の頂角を計ると正五角形の頂角である７２度になったのです。

補足日時：2014/03/27 11:07