No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(ア)tanの加法定理で解きます。
tan(x+y) = {tan(x)+tan(y)}/{1-tan(x)tan(y)}
にtan(x)+tan(y)=1、 tan(x+y)=1/2を代入して
tan(x)tan(y) = -1
ちなみにtanの加法定理を覚えていなくてもsin と cos それぞれの加法定理から、tan=sin/cos で出せます。
(イ)、(ウ)前問を使います。
tan(x)tan(y) = -1
より、tan(x)もtan(y)もどちらも0ではありません。ですから両辺をtan(x)で割ります。
tan(y) = -1/tan(x)
これを
tan(x)+tan(y)=1
に代入して両辺にtan(x)をかけて整理すると2次方程式になります。
{tan(x)}^2-tan(x)-1=0
これを解いて
tan(x) = (1±√5)/2
とふたつ解が出てきますが、これを
tan(y) = -1/tan(x)
に代入して計算すると
tan(y) = (1∓√5)/2
とtan(x)と±の符号が逆のものが出てきます。
-π/2<x<y<π/2 より tan(x) < tan(y) なので、
tan(x) = (1-√5)/2
tan(y) = (1+√5)/2
(エ)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
ですが、(ア)より
-1 = tan(x)tan(y) = sin(x)sin(y)/cos(x)cos(y)
したがって、
cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) = 0
左辺はcos(x-y)なので、結局
cos(x-y) = 0
(オ)cosの加法定理、あるいは2倍角定理により、
cos2(x+y) = cos^2 (x+y) - sin^2 (x+y)
= 2 cos^2 (x+y) - 1
よってcos^2 (x+y) を求めれば良いことになります。
sin^2 (x+y) + cos^2 (x+y) = 1
より、両辺をcos^2 (x+y) で割って
tan^2 (x+y) +1 = 1 / cos^2 (x+y)
であり、これに tan(x+y)=1/2 を代入すると
cos^2 (x+y) = 4/5
とでます。したがって、
cos2(x+y) = 2 cos^2 (x+y) - 1
= 3/5
(カ)
sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1
の両辺を cos^2 (x) で割って
tan^2 (x) +1 = 1 / cos^2 (x)
tan(x) は (イ) でもとめてあるので、
cos^2 (x) = (5+√5)/10
同様にして、(ウ)より
cos^2 (y) = (5-√5)/10
足して、
cos^2(x)+cos^2(y)= 1
あくまで解き方の1例ですので、探せば他にもっと簡単な方法などがあるかもしれません。
No.2
- 回答日時:
>tanx+tany=1 (1)
>tan(x+y)=1/2 (2)
>-π/2<x<y<π/2 (3)
(1)、(2)より
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)=1/(1-tanxtany)=1/2
よって
1-tanxtany=2
tanxtany=-1 (4)
(1)、(4)よりtanx、tanyを解とする2次方程式は
t^2-t-1=0
t=(1±√5)/2
(3)より-π/2<x<y<π/2ならばtanx<tany,よって
tanx=(1-√5)/2、tany=(1+√5)/2 (5)
tanx=sinx/cosx=-√(1-cos^2x)/cosx=(1-√5)/2
両辺2乗して
(1-cos^2x)/cos^x=[(1-√5)/2]^2=(3-√5)/2
1/cos^2x=(5-√5)/2
cos^2x=2/(5-√5)=(5+√5)/10
cosx=√[(5+√5)/10] (6)
sinx=tanx*cosx=-√[(5-√5)/10] (7)
同様に
cosy=√[(5-√5)/10] (8)
siny=√[(5+√5)/10] (9)
以上で(ア)、(イ)、(ウ)はできた。
(エ)
cos(x-y)= cosxcosy+sinxsiny=√[(5+√5)/10]*√[(5-√5)/10]+{-√[(5-√5)/10]}*[(5+√5)/10]
=0
(オ)
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny=√[(5+√5)/10]*√[(5-√5)/10]-{-√[(5-√5)/10]}*[(5+√5)/10]
=2√[(5+√5)/10]*√[(5-√5)/10]=2√20/10=2√5/5
cos2(x+y)= 2cos^2(x+y)-1=(2√5/5)^2-1=3/5
( カ )
cos^2x+cos^2y=(5+√5)/10+(5-√5)/10=1
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