陰関数定理について質問です。

次の各関数f:R^2→Rの与えられた点(a,b)を通る等高線は、その点の近傍においてy＝φ(x)の形式に解けることを示し、Dφ(a)を求めよ。

f(x,y)＝x^5+y^5+xy+4:(2,-2)


このような問題なのですが……

わかる方いらっしゃいましたら教えて下さい。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/06/06 18:42

f(a,b)=f(2,-2)=0

よって点(2,-2)の近傍においては

x^5+y^5+xy+4=0　　　　(1)

を解いて

y=φ(x)　　　　　　　　　(2)

の形に表すことは可能である。

Dの定義がないのでここでは

Dφ(a)=[dφ(x)/dx](x=2)

の意と解する。

(2)の形を直接求めることは題意に照らして必要ではない。

陰関数の理論により(1)をxで微分して

5x^4+5y^4(dy/dx)+y+x(dy/dx)=0

dy/dx=-(5x^4+y)/(x+5y^4)

(x,y)=(2,-2)を代入して

dy/dx=39/41

No.2 回答者： statecollege 回答日時： 2014/06/06 21:39

陰関数の定理とは以下のような内容を持つ定理です。

すなわち、

いま、ｆ（ｘ、ｙ）を(a,b)を含む開集合で定義される関数とする。ｆは微分可能で、偏導関数ｆx(x,y)および fy(x,y）は連続とする。さらに、ｆ（a,b) = 0、かつｆｙ（a,b）≠０とする。このとき、(a,b)の近傍において一意の関数ｙ＝Φ(x)が存在し、f[x,Φ（ｘ）] = 0およびDΦ(x) = - fx(x,y)/fy(x,y)が成り立つ。

問題の関数ｆ(x,y) = x^5 + y^5 + xy + 4にこの陰関数の定理を適用する。まず、f(2,-2) = 2^5 + (-2)^5 + 2×(-2) + 4 = 0を満たしていることを確かめる。つぎに、ｆx(x,y) = 5x + y, fy(x,y) = 5y + x より、ｆｙ（2,-2) = 5×(-2) + 2 = -8 ≠0、したがって、(2,-2)の近傍にはｆ（ｘ,Φ（ｘ）) =0を満たす一意の微分可能関数y = Φ(x)が存在し、導関数DΦ(x)はDΦ(x) = -fx(x,y)/fy(x,y)によって与えられるから、DΦ(2) = -｛5×２-2}/(-8) = 1となる。

なお、上で、ｆｘ（ｘ、ｙ）はｘの偏導関数、ｆｙ（ｘ、ｙ）はｙの偏導関数を表わす。


　　

No.3 回答者： statecollege 回答日時： 2014/06/10 07:03

回答２の訂正です。

回答２において以下の部分を

つぎに、ｆx(x,y) = 5x + y, fy(x,y) = 5y + x より、ｆｙ（2,-2) = 5×(-2) + 2 = -8 ≠0、したがって、(2,-2)の近傍にはｆ（ｘ,Φ（ｘ）) =0を満たす一意の微分可能関数y = Φ(x)が存在し、導関数DΦ(x)はDΦ(x) = -fx(x,y)/fy(x,y)によって与えられるから、DΦ(2) = -｛5×２-2}/(-8) = 1となる。

⇒

つぎに、ｆx(x,y) = 5x＾4 + y, fy(x,y) = 5y^4 + x より、ｆｙ（2,-2) = 5×(-2)^4 + 2 = 82≠0、したがって、(2,-2)の近傍にはｆ（ｘ,Φ（ｘ）) =0を満たす一意の微分可能関数y = Φ(x)が存在し、導関数DΦ(x)はDΦ(x) = -fx(x,y)/fy(x,y)によって与えられるから、DΦ(2) = -｛5×２^4-2}/82 = -78/82 = -39/41となる。

と訂正してください。

計算がおかしいと思ったら、せっかく「補足的質問」欄があるのだから、放置しないで指摘してほしいものです！なお、回答１の方の計算も、マイナス記号が抜けているので、正しくありません。なお、陰関数の定理の適用にあたっては、fy(a,b)≠０の条件が成り立つことを指摘することが重要です。もしこれがゼロだったら、陰関数の定理は（a,b)の近傍で成立しないからです