ローラン展開

次の関数の孤立特異点を中心とするローラン展開

(1)e^z/(z+2)


(2)1/(z^2+5z+6)

これらの問題がわかりません
解説をお願いします。

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/01 05:45

(1)e^z/(z+2)

孤立特異点z=-2
e^z/(z+2)
u=z+2とおくと
=e^(u-2)/u=(1/e^2) e^u/u
e^uをマクローリン展開
=(1/e^2)(Σ[n=0,∞] u^n/n!)/u
=(1/e^2)(Σ[n=0,∞] u^(n-1)/n!)
u=z+2とおきもとのzに戻すと
=(1/e^2)Σ[n=0,∞] (z+2)^(n-1)/n!　…（答）
書き下した(答)なら
=(1/e^2)(z+2)^(-1) +(1/e^2)+(1/(2e^2))(z+2)+(1/(6e^2))(z+2)^2+ …
　+(1/(n!e^2))(z+2)^(n-1)+ …　…（答）

(2)1/(z^2+5z+6)
孤立特異点は z^2+5z+6=(z+2)(z+3)=0より　z=-2,-3

◆z=-2のまわりの展開
与式=((z+2)^(-1))(1/(z+3))　←1/(z+3)だけテーラー展開
　=((z+2)^(-1))Σ[n=0,∞]　((-1)^n)(z+2)^n
　=Σ[n=0,∞]　((-1)^n)(z+2)^(n-1) ←(答1)
(答1)を書き下した(答)なら
　=1/(z+2) -1+(z+2)-(z+2)^2+ … +((-1)^n)(z+2)^(n-1)+ … ←(答1)

◆z=-3のまわりの展開
与式=((z+3)^(-1))(1/(z+2))　←1/(z+2)だけテーラー展開
　=((z+3)^(-1))Σ[n=0,∞]　-(z+3)^n
　=-Σ[n=0,∞] (z+3)^(n-1) ←(答2)
(答2)を書き下した(答)なら
　=-1/(z+3) -1+(z+3)-(z+3)^2- … -(z+3)^(n-1)+ … ←(答2)

(答)は孤立特異点がz=-2,-3の２通りについてローラン展開は
それぞれ（答1）、(答2)となります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/30 23:15

どこがわからない?