No.1ベストアンサー
- 回答日時:
おはようございます。
まず、p進の世界ではexpはQp全体では定義されません。pZp上の関数です。
一方でlogはQp全体で定義されます。
この辺は実、複素の世界と大きく違います。
例えば複素数の世界ではexpは全ての複素数に対して定義されるのに、logの方は局所的にしか定義されません。
さて、expは級数の定義される範囲でしか定義できないので、logがどのようにQp全体で定義されるかを説明します。
まず、一般のQpの元xに対してx=p^m×x' (m=ordp(x)∈Z, x'∈(Zp)*)と書いておけば、
log(x)=log(p^m×x')=m×log(p)+log(x')=log(x')
(ここでlog(p)の取り方の任意性が有りますが、通常log(p)=0と考えます。)
また、x'∈(Zp)*のときx'^(p-1)∈1+pZpであること(Fermatの小定理)
より x'^(p-1)=1+p×x'' とおけば、
log(x')
=1/(p-1)×log(x'^(p-1))
=1/(p-1)×log(1+p×x'')
=-1/(p-1)×Σ[n=1..∞](-p×x'')^n/n
最後の式はp進位相において絶対収束するので、こうしてQp全体でlog(x)が定義できるというわけです。
この回答へのお礼
お礼日時:2014/07/09 08:15
回答ありがとうございます。
分かりやすい説明でした。
ただ一点だけ、
> logはQp全体で定義されます。
とあったので、log 0 は何になりますか?
No.2
- 回答日時:
補足です。
log(2)の計算例をp=3,5,7辺りで書いておきます。Q_2では
log2=0
Q_3では、
log2
=1/2 log(4)
=1/2 log(1+3)
=1/2 (3/1 -3^2/2 +3^3/3 -3^4/4 +・・・)
=2・3^1 +2・3^2 +3^5 +3^6 +2・3^8 +3^9 +・・・
Q_5では、
log2
=1/4 log(16)
=1/4 log(1+15)
=1/4 (15/1 -15^2/2 +15^3/3 -15^4/4 +・・・)
=2・5^1 +3・5^2 +2・5^3 +4・5^4 +2・5^6 +・・・
Q_7では、
log2
=1/6 log(64)
=1/6 log(1+63)
=1/6 (63/1 -63^2/2 +63^3/3 -63^4/4 +・・・)
=5・7^1 +5・7^2 +2・7^3 +4・7^4 +6・7^5 +5・7^7 + 7^8 +・・・
など。参考にどうぞ。
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