確立統計学について

確率変数Ｘは正規分布N(μ,σ^2)に従うものとする。
(1)確率変数Yを Y = X + a (aは定数)と定めるとき、YはN(μ+a,σ^2)にしたがうことを示せ。
(2)確率変数Zを Z = bX (bは定数)と定めるとき、ZはN(bμ,(b^2)×(σ^2))にしたがうことを示せ。

上記の問題がわからず困っています。
f(x)=(1/√2πσ^2)e^{-((x-σ)^2)/2σ^2}
のxをyとzに置き換えて式を変形すれば良いのかと考えたのですが、違うようなんです…
何卒途中経過や何の定理を使ったのかなども詳しく教えていただけるとありがたいです。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2014/08/20 18:14

> xをyとzに置き換えて式を変形すれば良いのかと考えたのですが、違うようなんです…

　ちょっと違いますね。
　まず、正規分布N(μ, σ^2)の確率密度関数ξは、ご質問の式とは違って
　　ξ(x) = (1/√(2π(σ^2))) e^(-((x-μ)^2)/(2(σ^2)))
です。

(1)
　　Y = X+ a
というのは、「YはXの関数Y(X)であって、
　　Y(X) = X + a
という関係になってる」ってことです。その逆写像X(Y)を考えますと、
　　X(Y) = Y - a
である。「Yがある値になったとき、Xは幾らだったか」ということを表す式ですね。この場合、X(Y)は逆関数になっている。つまりYを与えればXが一意的に決まる訳です。これがたとえば
　　Y(X) = X^2
だったりすると、Yに対してXが一意的に決まるようにはならない。そういう時には、一意的になるように分割した上で、それらの総和を取る必要があります。この例の場合なら
　　X(Y) = √Y
　　X(Y) = -√Y
の二つに場合分けするんです。

　しかし、問題(1)ではX(Y)が逆関数になっているんで、そういう心配は要らない。
　Yの値をyとすると、Y=yになったときのXの値xは
　　x = X(y)
つまり
　　x = y - a
である。なので、Yが従う確率密度関数をψ(y)とすると、
　　ψ(y) = (dx/dy)ξ(y-a) = (1/√(2π(σ^2))) e^(-(((y-a)-μ)^2)/(2(σ^2)))
　　= (1/√(2π(σ^2))) e^(-((y-(μ+a))^2)/(2(σ^2)))

　このとき、ヤコビアン dx/dy を忘れちゃいけません。
　たとえば、Xが0～1の一様分布に従う確率変数で、Yは
　　Y = X^2
だという場合、
　　X(Y) = √Y
なので、
　　dx/dy = 1/(2√y)
である。そして、Xが従う確率密度関数ξ(x)は
　　ξ(x) = (0≦x≦1なら1、さもなくば0)
ですから、Yが従う確率密度関数をψ(y)とすると、
　　ψ(y) = (1/(2√y)) (0≦√y≦1なら1、さもなくば0)
　　= (0≦y≦1なら (1/(2√y))、さもなくば0)
である。もしヤコビアンを掛けるのを忘れると、
×　ψ(y) = (0≦√y≦1なら1、さもなくば0) = ξ(y)
になってしまいます。


(2) 「b=0の場合を除いて」という但し書きが抜けているのではないかな？
　　Z = bX (b≠0)
つまり
　　X(Z) = Z/b
である。これも問題(1)と同様に逆関数になってますね。Zが従う確率密度関数をζ(z)とすると
　　ζ(z) = (dx/dz)ξ(z/b) = (1/b)(1/√(2π(σ^2))) e^(-(((z/b)-μ)^2)/(2(σ^2)))
　　= (1/√(2π((bσ)^2))) e^(-((z-bμ)^2)/(2((bσ)^2)))

No.4 回答者： fluidicB 回答日時： 2014/08/14 11:30

こういう小テストや演習レベルの問題は授業の進捗や教員の主張で使っていい公式のレベルが変わるので回答＃１みたいな逆質問が出るんですが、通常次の２とおりの解き方があります。

（解き方＃１）　(1)についてはE[Y]とV[Y]、(2)についてはE[Z]とV[Z]を期待値や分散の定義レベルの公式に当てはめて式変形していって、各問いのN( , )の内側に書かれている式になることを示す。
（解き方＃２）　確率密度関数に代入して、目指している分布の確率密度関数の形まで式変形して、係数や項を比較して求める。

＃１は、文句の言われようのないもっとも確実な証明法です。一方で結果が重要な人は普通＃２の方法をとります。質問者さまの「xをyとzに置き換えて式を変形すれば良いのかと考えたのですが、違うようなんです…」ということは、＃２じゃないってことなんでしょうね。

＃１の方法は、今回の対象が連続確率なので
E[X]= インテグラル マイナス無限大からプラスの無限大までx×（確率密度関数）dx
みたいな式を使いますが今回求めるのはE[Y]=E[X+a]です。
ここからさらに２通りの方法があります。素直な方法と、期待値の公式を使った賢い方法。
先に（賢い方法）ですが、
E[X+a]=E[X]+a=μ+a
で、いきなり答えです。
もし教員が「この機会に正規分布の期待値と分散を求める式変形を学生に経験させておこう」とか思ってたら、この方法もアウトですね。

素直な（面倒な）方法なら
E[X+a]= インテグラル マイナス無限大からプラスの無限大まで(x+a)×（ここはそのままの確率密度関数）dx
を求めることになります。積分の中を展開すると、確率密度関数のx倍の項とa倍の項が出てきます。積分の加法定理で2つの積分に分けます（賢い方法の最初の式変形相当です）。するとx倍のほうは正規分布の期待値を導く問題そのものです。教科書をご覧になるなり（正規分布　期待値）でググるなりすれば、この証明はあちこちに出てきます。たとえば
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_04. …

今回は出題でZが定義済みなので変数名がかぶってしまわないように注意しながらたとえばwとおいて標準化変換して、{exp[-(1/2)w^2]}’=-w exp[-(1/2)w^2]という性質を使って一気に積分して０になる項（奇関数の左右対称な積分範囲の積分は０という性質を使うのでもよい）と、ガウス積分を公式として使って√πを吐き出しながら分母の√πが消えていく項とに分かれ、結局、μとaが残る、という式変形になります。

分散についても同様です。(2)ではV[aX]=(a^2) V[X]という公式を使ってよければ
V[Z]=V[bX]=(b^2) V[X]= (b^2)×(σ^2)
といきなり答えです。
に、標準正規分布の式まで持ち込んで同じ雰囲気で進めます。
ガウス積分を証明なしに使っていいかとか、奇関数の積分の性質をいきなり使っていいかというのも出題者の意図が見えないのでこちらでは判断できませんが、この１問でそこまで苦労させたいと思う教員もいないだろうという気もするので、使ってしまいました。


この手の問題でも解析的に（式変形だけで）答えにたどり着けない場合は、数値積分するとか、モンテカルロ法にたよるとかいうアプローチになります。またモーメント母関数レベルで話を進めてしまうというケースもあります。今回の問題なら普通に式変形するほうが早いですね。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/13 23:49

すみません, 1つ忘れてました.

分布関数を考えないとダメです.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/13 14:48

N(μ, σ^2) の密度関数は

f(x) = (1/√(2πσ^2)) e^[-(x-μ)^2/(2σ^2)]
だね. 質問文の式とはちょっとだけ違う.

でもって「f(x)の式のxをy = x + aとz = bxに置き換えて式を変形させました」のところ, 実際にどのような「変形」をしたのか, そしてどこで困っているのかを見せてもらえますか?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/11 23:32

とりあえず確認:

何がいえれば「確率変数X は N(μ, σ^2) に従うことを示す」といっていい?

あと, 後段の「xをyとzに置き換えて式を変形すれば」ってのは, 具体的には何をどうしてる?

この回答への補足

上記のf(x)の式が言えれば確率変数Ｘは正規分布Nに従うと言えるというふうに考えています。

f(x)の式のxをy = x + aとz = bxに置き換えて式を変形させました。

補足日時：2014/08/12 16:41