No.2ベストアンサー
- 回答日時:
d^2θ/dt^2=-gθ/L (1)
p^2=g/Lとおくと(1)は
d^2θ/dt^2+p^2θ=0 (2)
これは定数係数2階線形微分方程式。これを満たす解は微分方程式論的には
特性方程式
t^2+p^2=0
t=±ip(iは虚数単位)
基本解はe^(ipt),e^(-ipt)
(2)の一般解は
θ=ae^(ipt)+be^(-ipt) (3)
基本解はe^(ipt)=cos(pt)+isin(pt),e^(-ipt)=cos(pt)-isin(pt)
であるので、これを(3)に用いて係数a,bの代わりにc,dを用いて
θ=ccos(pt)+dsin(pt) (4)
このようにsin,cosで書いたとき
pを角周波数という。
つまり
ω=p=√(g/L)
周波数(振動数)fは
f=ω/2π=(1/2π)√(g/L)
周期Tは
T=1/f=2π√(L/g)
No.1
- 回答日時:
この形の微分方程式の解は
θ=Aexp(iωt+θ0)
で与えられます。(解き方は「単振動 微分方程式」などで調べればたくさん出てきます)
これを元の方程式に代入するとわかる通り、
ω^2 = g/L
です。
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