ロケットエンジンの推進力についての運動エネルギーの保存の法則について

エネルギー保存の法則についての質問です。

平らで抵抗のない地面に質量Ｍの台車が置かれているとします。

この台車にはロケットエンジンが装着されていて、ロケットエンジンの推進力で
静止状態から加速されるとができるとします。ここで燃料の減分は無視すること
とします。

ここでロケットエンジンは、Ｆの力で一定時間のｔ秒間にＥのエネルギーを出力できる
ものとしますと、台車が停止状態からｔ秒間の間に加速度はａ＝Ｍ／Ｆで運動すると思います。

最初のｔ秒間に台車に加えられたエネルギーはＥですが、そのときの速度を初速とすれば、
次のｔ秒間はも、Ｆの力が台車にかかるため、加速度ａで加速すると思います。
しかし、最初のｔ秒間も、次のｔ秒間も、エンジンの出力はＥで一定です。

従って最初のｔ秒間にエンジンがした仕事Ｗ１は、Ｅ＝１／２Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２（１）で、
次のｔ秒間にエンジンがした仕事Ｗ２もＥ＝１／２Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２（２）となります。

すると、最初のｔ秒から次のｔ秒までの間加速度ａで加速するためのエネルギーは（１）（２）
より、２×１／２×Ｅ＝Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２となると思います。

しかし、静止状態から２ｔの間に台車がされた運動エネルギーでエネルギーを計算すると、
１／２×Ｍ×ａ＾２×２ｔ＾２＝２×Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２
となってしまい、上記と合いません。

つまり、台車にされる仕事 ＜ 台車の持つ運動エネルギー
となってしまいます。

ロケットエンジンのように反作用で推進する機構は一般的に、このような現象が発生する
のでしょうか。

No.19 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/02/26 13:06

#18のものです。

>とありますが、ということは、速度０→Ｖに必要なエネルギーと、ｖ→２Ｖに必要なエネルギー
は同じということでしょうか。

そうです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

結局、速度０→Ｖに必要なエネルギーと、ｖ→２Ｖに必要なエネルギー は同じということでよろしいのでしょうか。するとエネルギー保存の法則を満たさないことになりますが、反作用で加速するような機構は例外なのでしょうか？

お礼日時：2015/03/02 19:20

No.20 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/03/03 05:35

#19のものです。

>結局、速度０→Ｖに必要なエネルギーと、ｖ→２Ｖに必要なエネルギー は同じということでよろしいのでしょうか。するとエネルギー保存の法則を満たさないことになりますが、反作用で加速するような機構は例外なのでしょうか？

#18をもう一度読みなさい。
それでもこんなことを考えているのであればそれはあなたがまったく読んでいないというだけのことです。
小学生ではないのでしょうから"読む"ということが単に字を追いかける、と言う意味ではないことはわかるはずです。

#18に出てくるE1,E2の式のそれぞれの項が何を意味するのか考えながら読む、さらに実際に計算しないさい。
この実際の計算をしないで字面だけ追っているのであれば永遠にわかるわけありません。

No.18 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/02/24 14:21

#14のものです。

質問者は実際に計算していないのですね。
計算すれば簡単にわかるのに思い込みだけで進めているので矛盾が出てくるのです。

結論を先に言います。
質問者の前提で計算した場合、0→Vに加速するために必要なエネルギーとV→2Vに加速するために必要なエネルギーの大きさは等しい。そしてそれで何ら問題はない。

#17の方の計算に使った記号をそのまま使用させていただきます。
ただし、質問者の前提に則り計算するため以下の仮定を設定します。
m=M/1000
Mは0→Vの時でもV→2Vの時でも同じ(実際はM/1000だけ小さくなりますがここでは無視)

0→Vに加速するために必要なエネルギー(E1)=台車がVで進むときの総運動エネルギー
ですので
E1=(1/2)MV^2+(1/2)mv^2
２項目を無視してはいけません!!
というよりも１項目よりも2項目の方が圧倒的に大きい!!(ここが重要)

V→2V加速するために必要なエネルギー(E2)=台車が2Vで進むときの総運動エネルギー - 台車がVで進むときの総運動エネルギー
ですので
E2=(1/2)M(2V)^2+(1/2)m(2V-v)^2-(1/2)(M+m)V^2
もちろん２項目を無視してはいけません。
１項目や３項目よりも２項目の方が圧倒的に大きい!!(とても重要なので繰り返します)

#17での(2)を用いるとE1,E2の場合はともに
v=1000V
となります!!
そう、ガスの相対速度は台車の速度なんかよりもずっと大きいのです。
mが1/1000でもvが1000倍なので運動エネルギーはガスの方が1000倍も大きいのです。

この値を入れて計算するとE1とE2の大きさは全く等しくなります。
つまり加速に必要なエネルギーは常に一定。

質問者は運動エネルギーの変化(0→Vの場合(1/2)MV^2,V→2Vの場合(1/2)M(2V)^2-(1/2)(M+m)V^2)がEだと思っているようですが、加速に消費しているエネルギーの1/1000に過ぎないのです。
台車の運動エネルギーの増加量がだんだん大きくなっていますが、これはE1の第２項よりもE2の第２項の方が小さい、つまりガスの運動エネルギーが小さくなっていることに起因しています。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

仰る中で、この値を入れて計算するとE1とE2の大きさは全く等しくなります。
つまり加速に必要なエネルギーは常に一定。

とありますが、ということは、速度０→Ｖに必要なエネルギーと、ｖ→２Ｖに必要なエネルギー
は同じということでしょうか。

理解が悪くて申し訳ありません。

お礼日時：2015/02/25 18:49

No.17 回答者： -Ken-Ken- 回答日時： 2015/02/18 04:45

じゃ、運動量と運動エネルギーの関係を調べてみましょうか。

やってみたら案外簡単な計算だったから。

質量Mのロケットが速度Vで飛んでいるとします。このロケットには質量mの玉が積んであって、これをロケットから見てvの速度(観測者から見てV-vの速度)で打ち出してロケットを加速させるとします。あなたの提示したお題どおりに運動量保存の法則で飛ぶ場合を単純化させたモデルです。作用反作用と言ってもいいですが、本質的な原理は後ろに運動量を捨てて、捨てた分の運動量でロケット自身が運動量を得て加速するということです。
この例で、与えた運動エネルギーは同じでも、ロケットの速度の変化量は元の速度によって変わってくるということを計算してみます。途中の計算は省いて書きますが、四則演算だけですから、ご自分で確かめてみてください。

運動量保存の法則は(1)のとおりとなります。このことから、加速後のロケットの速度V´は(2)のようになります。
次に運動エネルギーを計算します。前に私が書いた通り、後ろに捨てた運動エネルギーも忘れてはいけません。加速後の運動エネルギーの合計は(3)のように計算できます。

(3)の計算の結果の第一項 (1/2)(M+m)V^2 は加速する前のロケットの運動エネルギーの総計を表しています。第二項 (1/2)m(1+m/M)v^2がロケットを加速するのに必要だったエネルギーです。

加速するために必要なエネルギーはロケットの速度は関係なく、その加速するために打ち出した球の速度(ロケットに対する速度)に関係することがわかります。
一定の時間ごとに連続してその打ち出す玉のロケットに対する速度を一定にすることは、あなたの言う推力が一定であるということに相当します(直感的にもそう理解していただけると思うのですが)。そうすると、玉を打ち出すごとに必要なエネルギーも一定であることを示しているわけです。

繰り返しますが、このモデルがあなたの考えているモデルに相当します。ある任意の速度Vのロケットにあるエネルギー(1/2)m(1+m/M)v^2を与えます。するとロケットの速度はV´になります。
ここで、式(2)を見直してください。ロケットに対して球を打ち出す速度は一定で、だから与えたエネルギーは同じでも、打ち出した後のロケットの速度V´は、元のロケットの速度Vに依存します。元の速度Vがより大きいと速度の変化率はより小さくなります。

あなた自身の誤解のどこが最初の誤解なのかよくわからないのですが、ここで示したのはエネルギーE与えて速度Vになったロケットに、さらにエネルギーEを与えても速度は2Vにはならないということです。2Vよりずっと小さな速度にしかなりません。

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
仰ることの大体は理解できました。
しかし、静止点から玉を発射して速度Ｖになったとします。その後さらに玉を発射して速度をさらに増加させるのは、発射直前の速度が等速直線運動をしていれば、そのときその慣性系からみれば、その時点から、玉を発射すれば、その慣性系からみるとＶの速度に加速します。そうすると静止点からみれば２Ｖの速度になるはずです。結局静止点をどこに見るかによりますが、玉を発射する直前の速度を慣性系からみて０とすれば、そこからＶまで加速されるはずだと思うのですが。数学を当てはめるときにはその前提の条件を考慮しないといけないと思いますが、いかがでしょうか。

だんだん本質に迫ってきて楽しみです。

お礼日時：2015/02/19 19:40

No.16 回答者： uen_sap 回答日時： 2015/02/16 15:53

題意に間違いがある。

1)Ｆがt秒作用して出力E
2)次のt秒間変わらずFが作用すればエネルギーはEではなくなります。

No.15 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/02/16 12:53

うーん、話が不要に複雑化していると思います。

推力をFと決めてしまえば、ロープで台車を力Fで引っ張る話と同じになります。

台車を同じ力で引っ張り続けると、台車は一定の加速度で加速してゆきますが
このとき台車受け取るエネルギーがどうなるかというのが重要です。

もちろん台車が受け取る時間当たりのエネルギーは FV ですから一定ではありません。

取りあえずロケットがどうのこうのという話は忘れてしまったほうがよいと思います。

エンジンの時間当たりのエネルギー(出力)も トルクだけじゃ決まりません。
同じトルクでも回転数が大きいほうがガゾリン食いますよね。それと同じです。

No.14 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/02/16 00:18

>従って最初のｔ秒間にエンジンがした仕事Ｗ１は、Ｅ＝１／２Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２（１）で、

次のｔ秒間にエンジンがした仕事Ｗ２もＥ＝１／２Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２（２）となります。

違う。
ロケットエンジンでエネルギーの計算をする場合、必ず噴射したガスのエネルギーも計算に入れないといけない。

最初のt秒間で噴射したガスを静止系から見た平均の速度(正確にいうと速度のRMS(2乗平均のルートを取ったもの))と次のt秒間で噴射したのガスの平均速度は明らかに後者のほうが小さい。この差がロケットの運動エネルギーの差となって現れるのです。

ガスのエネルギーなど無視できると思うかもしれませんが、そんなことをいうとロケットエンジンによる推進そのものが成り立ちません。噴射するガスに与えるエネルギーは莫大なもので、燃料の質量の分の減少が無視できるほどの量でのロケット推進の場合、本体側の運動エネルギーの増加よりも噴射ガスに与えられたエネルギーのほうが圧倒的に大きくなります。
(実際、衛星の打ち上げに使うようなロケットの場合、ガスの噴射量をとんでもなく増やすことでこの無駄ともいえるエネルギーの割合を減らすのです)

No.13 回答者： -Ken-Ken- 回答日時： 2015/02/15 19:19

#11です。

>その時の速度を初速として、そこからエネルギーＥで速度Ｖまで加速できると考えます。
そこで運動エネルギーを計算する前提となる座標系が別の座標系に移っています。
どなたかも書いておられますが、異なる座標系で計算した運動エネルギーを比べているから不思議に見えるのです。
運動エネルギーを比べるなら途中で座標系を変えてはいけません。
たとえば、その2番目の座標からみて台車がどのように見えるか検討してみましょう。
まず解析的に調べて、それを散文的に表してみます。解析的と言ってもただの等加速度運動ですから、グラフをお見せするだけです。

台車が運動し始めた時刻をt=0、速度v1に達した時刻をt=t1、速度v2に達した時刻をt=t2=2×t1、ということにしておきます。
以下の検討は、速度v1で動く座標系O1から、一定の加速度aで投下速度運動する台車の運動がどう見えるか、ということです。

図1はO1からみた台車の速度です。t=t1での速度を0としてます。グラフはt=t1を原点にとって、左右対称のグラフになるようにしました。
このグラフはいいですよね？t=t1で速度がv1、t=t2で速度がv2になるのですから、O1から見ると、t=0で速度が-v1、t=t2で速度が(v2-v1)=v1となります。

図2はO2からみた台車の位置です。t=t1での台車の位置をx=0として、その後に台車が進んでいく方向を正としています。台車の速度を表す式v=atを時間で積分し、t=t1でx=0であるとすればこういうグラフになります。あなたが高校生なら、等加速度運動の公式に当てはめたと言ってもいいです。

図1と図2がどういうことを意味しているのか散文的に書いてみましょう。我々はx=0の点、つまりt=t1での台車の位置で台車を観察しているとします。もちろんv=v1で座標系O1と一緒に動いています。t=0で台車は、(1/2)×(at1^2)の点にいます。ここから我々の方向に向かってきます。最初の速度は-v1、つまり我々の方向にv1で向かってきて、加速度aで減速してきています。ロケットエンジンはこちらを向いています
t=t1で我々の所に到達し、その時の速度は0です。これはそういう風に座標O1を決めたのですから当然そうなります。
その後、台車は元来た方向に帰っていきます。加速度aで加速し、t=t2で速度がv1になります。
たぶん、このように見えるとは思っていなかったのではないですか？

O1から見た運動エネルギーは図3のようになります。つまり、台車の質量をmとすると、t=0で(1/2)×(mv1^2)の運動エネルギーを持っています。ロケットエンジンはこちらに燃焼ガスを噴射し、押し戻そうとしています。というより、速度v1のロケットが抵抗力Fに逆らって仕事をし、自らの運動エネルギーを消費しているのです。
図4は運動エネルギーを元の座標から見たものと、O1から見たものを重ねたものです。

要するに座標系が異なれば物体の運動は全く違って見え、だから運動エネルギーも違う風になる、ということなのですが、うまく説明できたでしょうか。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
仰っていることをすべて理解できていませんが、観測する点によってエネルギーの見え方が変わることは理解できます。

端的に私の疑問点をいいますと、ロケットのように反作用で進む機構の場合、または燃料の噴射を必要とせず反作用で進む機構があった場合も含めて考えると、機構の加速に必要な運動エネルギーよりも、ある静止点から見た運動エネルギーよりも小さくなるので、エネルギー保存の法則が当てはまらない場合があるのではということです

難しい話は分かりませんが、反作用で進む機構は、静止点からみた速度０からＶまで加速するために必要なエネルギーも、速度Ｖから２Ｖに加速するために必要なエネルギーは同じではないかということです。つまり、Ｖの速度を初速度として、反作用で加速するわけですから、自動車のように、タイヤの回転速度によって加速する機構とは違う見方をしないといけないと考えました。

お礼日時：2015/02/17 21:48

No.12 回答者： chofucats 回答日時： 2015/02/14 20:19

物理を忘れて、半世紀以上になりますので。

回答になるかどうか。
この質問の問題点は。ロケットのエネルギーが１００％加速に使用されるのかどうかだと思います。

ロケットの原理は作用反作用ですが、台車にかかる力を作用と考えると、反作用は何が引き受けるのでしょうか。
それは　ロケットの燃焼ガスそのものが受けています。したがって　理想状態で　台車が受け取れるエネルギーは半分になります。（台車を加速するエネルギーと燃焼ガスを加速するエネルギーに分散されると思いますが。）したがってa の加速度を得るためには2倍のエネルギーが必要です。

ピストル等の場合、後方が遮断されているので　弾にそのエネルギーが全部（理想状態で）前方の弾に伝わります。
この点が　ピストルとロケット（ジェット等の燃焼ガスにによる推進など）の大きな違いと思います。
反作用推進ではこれが基本です。消費エネルギーの半分しか物体に伝わらない。

ロケットは後方遮断できないので、燃焼膨張ガスそのものが後方の壁となりますが、そのガスの抵抗で推進します。したがってノズルの設計が大事になります。大きすぎると本体えの作用が少なくなり、小さすぎると噴出できなくなり爆発となります。作用反作用は等価ですので、５０％以上のエネルギーを伝えることができません。台車の運動エネルギ＋ガスが抵抗することによる消費エネルギーが合計のエネルギーとなります。理想状態で、それぞれ５０％づつとなるのではないでしょうか。台車の運動エネルギーは質問者さんの半分になります。エネルギ保存則は成立します。残りはガスが消費します。

No.11 回答者： -Ken-Ken- 回答日時： 2015/02/14 03:16

#2です。

ちょっと見ない間にずいぶん回答が付きまたねぇ。

すこし話を整理してみましょうか。あなたの思考実験はこういうことですね？
(1) ロケットエンジンは、Ｆの力で一定時間のｔ秒間にＥのエネルギーを出力できる
(2) すると、台車が停止状態からｔ秒間の間に加速度はａ＝Ｍ／Ｆで運動する
(3) 最初のｔ秒間に台車に加えられたエネルギーはＥ
(4) 次のｔ秒間も、Ｆの力が台車にかかるため、加速度ａで加速する
(5) 次のｔ秒間も、エンジンの出力はＥで一定
(6) t秒後と2t秒後の台車の運動エネルギーを比較すると、台車にされる仕事 ＜ 台車の持つ運動エネルギーとなる。

あなたの疑問と私のも含めた皆さんの回答が噛みあわないのは、自明でない前提、というよりありえない前提を積み上げてエネルギー保存の法則が成り立たないという結論にたどり着いているからです。そのせいで上の(1)から(6)に行くまでの間に、論理的なつながりのない部分が見受けられます。ですからエネルギー保存の法則についてのあなたの疑問にたどり着くまでに、突っ込みどころが満載になってしまうのです。

上の思考実験について突っ込んでも、いままでの皆さんの回答の繰り返しになりますから、私は、以下のような事実を基に、あなたの思考実験を見直してみることをお勧めします。

(a) 推進力Fが一定の場合、エンジンの出力(仕事率)は一定ではない。
エンジンの仕事率W、その時働いている力F、その時の速度vには次のような関係があります。
W=Fv
つまり推進力Fが一定でしかもエンジンの出力が一定なら、速度は一定です。これは坂道を上るときとか、ロケットが垂直上昇するときにそういう状況があらわれます。エンジンの推進力Fが同じなら、速度vが増すに従いより大きな出力Wが必要になります。
自動車を押してみたことありますか？一番力がいるのは最初に動き出す時で、速度つくにつれ押す力は小さくなりますし、逆に同じ力押そうとするととても速く走らなければならないことが実感できます。

(b) 後ろに捨ててきたものにもエネルギーを与えている。
これはどなたもまだ指摘されていないと思いますが、あなたの話では台車の運動エネルギーだけが考えに入れられています。それで後ろに捨ててきたものに与えた運動エネルギーが考慮されていません。本物のロケットなら燃焼ガスを後ろに噴出させますが、それには質量と速度がありますので、運動エネルギーを与えて後ろに捨てています。ロケットの重量の変化を無視する前提でも構いませんが、運動量保存の法則で推進する場合を考えているのですから、後ろに捨てた運動エネルギーを無視するわけにはいかないでしょう。運動エネルギーは速度が自乗で効いてくるのですから。
ただ、これを考慮に入れると、あなたの結論がさらに大きくなって見えますけどね。でもエネルギー保存の法則を語るなら、エネルギーの行方を全部検討する必要はあります。

(c) 力学な仕組みだけで実験を組み立ててみる。
これは事実というより単なるお勧めです。本物のロケットのようなものを考えると、燃料がどうエネルギーに変わるのかとかそういうことが気になってきますので、むしろ力学的エネルギーだけで実験を組み立ててみたほうがいいと思います。
具体的にはこんな台車を考えてみるのです。筒にばねと質量Δmの玉を仕込んだものをたくさん積んだ台車を考えます。すべての筒に静止している状態で球をつめ、留金を外せば後ろに発射できる状態にしておきます。この球を次々に発射することで台車を前進させます。
このような推進力なら、運動量、力積、力、弾性エネルギー、運動エネルギーというような比較的簡単に計算できるもので考察できます。
ただ、私もすこし式をいじくってみたのですが、センスがないせいで大して意味のある計算はできませんでした。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
沢山書いていただきいて本当に助かります。

ただ、ロケットエンジンや、玉を発射する装置をつけた物体は、エネルギーＥで速度Ｖまで加速した直後に等速直進運動に一瞬なったとします。そうすると、その時の速度を初速として、そこからエネルギーＥで速度Ｖまで加速できると考えます。そうすると、最初のＶと次のＶで２Ｖになりますが、与えるエネルギーは２Ｅです。噴射や玉の発射で加速するような機構の場合は、ある速度を初速として考えられるのではないでしょうか。

お礼日時：2015/02/14 18:53