三角関数 二倍角か半角か

この等式を説明せよ
cos(α+β)cos(α-β)=cos^(2)α-sin^(2)β

左辺を変形していくようで、解答をたどっていると、このような変形を目にしました。
cos^(2)α*cos^(2)β-sin^(2)α*sin^(2)β
＝
cos^(2)α(1-sin^(2)β)-(1-cos^(2)α)sin^(2)β

公式を見ても、いまいちピンと来ません。
一体これは何を行っているのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 回答どうもありがとうございます。
  じっくり見てみました！
  
  式を下に下にと見ていくことは出来ますが
  
  cos^(2)α(1-sin^(2)β)-(1-cos^(2)α)sin^(2)β
  が
  cos^(2)αcos^(2)β-sin^(2)αsin^(2)βと結びつけられず、非常に悔しいです。。
  本当にこれらは同じなのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/05/05 21:55

• 回答どうもありがとうございます。
  おかげで、かなりの所まで納得して解くことができるようになりました。
  しかし、一ヶ所だけどうしても分からなくなってしまいました。
  cos^2βを(1-sin^2β)に変形することは出来たのですが、-sin^2αを-(1-cos^2α)に変形することができません。
  
  前者はcos^2βがcosβ*cosβの形にできる事に気がつき、なんとか変形させることができました。
  しかし後者では、その方法で解くことができませんでした。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/05/06 15:59

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/05/05 22:33

積の公式、和と差の公式をマスターしてください。

教科書に必ず出ています。ここでは積の公式だけ必要。

cospcosq=[cos(p+q)+cos(p-q)]/2

p=α+β, q=α-βとすると

cos(α+β)cos(α-β)=[cos(2α)+cos(2β)]/2

積の公式、和と差の公式よりさらに簡単な倍角公式

cos(2x)=2cos^2x-1 (cos^2x=(cosx)^2)

を用いて

cos(α+β)cos(α-β)=[cos(2α)+cos(2β)]/2=cos^2α+cos^2β-1

cos^2β=1-sin^2β

を代入して

cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やっと理解することができました。

お礼日時：2015/05/06 22:06

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/05/05 17:42

cos(α+β)cos(α-β)=cos^(2)α-sin^(2)β

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
ですので
（cosαcosβ－sinαsinβ）（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝cos＾２αcoｓ＾２β－sin＾２αsin＾２β
左辺から右辺を引きます
cos＾２αcoｓ＾２β－sin＾２αsin＾２β－（cos＾２αーｓin＾２β）
＝cos＾２αcoｓ＾２β－sin＾２αsin＾２β－cos＾２α＋ｓin＾２β
＝cos＾２α（cos^２β－１）－sin＾２β（sin＾２α－１）
＝cos＾２αｓin^２β－sin＾２βcos＾２α
＝cos＾２αｓin^２β－cos＾２αｓin^２β
＝０