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F’(x)=3x^2-2(3cos^2Θ)x+3cos2Θ
=3{x^2-2(cos^2Θ)x+cos2Θ}
cos^2Θ=(1+cos2Θ)/2より、
=3{x^2-(1+cos2Θ)x+cos2Θ}
=3(x-1)(x-cos2Θ)
F(x)が極値を持つためには、
方程式F’(x)=0が異なる2つの実数解をもつ。
すなわち、cos2Θ≠1
よって、0°<Θ≦90°
また、この条件では、cos2Θ<1より、(増減表省略)
x=cos2Θのとき極大となる。
M=(cos2Θ)^3-(3/2)*(1+cos2Θ)(cos2Θ)^2+3(cos2Θ)^2
=(1/2)*(cos2Θ)^2*(3-cos2Θ)
(2) cos2Θ=tとすると、0°<Θ≦90° より -1≦t<1
M=(1/2)*(3t^2-t^3)
両辺をtで微分すると、
M’=(3t/2)(2-t)
t=-1のときM=2
t=1のときM=1(最大値なしの状態が避けられることの確認)
t=0のときM=0
これと増減表(略)より、
0≦M≦2
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