高校数学、０で割る可能性について

（問題）
(1)ｎを２以上の自然数とするとき、ｘ＾ｎ－１を（ｘ－１）＾２で割った余りを求めよ。
（2)ｘ＾２－2ax+a+2=0の異なる２つの実数解のうち、ただ１つがー２＜ｘ＜２にあるとき、aの値を定めよ。
（解答、(2)は途中まで）
(1)
ｘ＾(n)-1=(x-1)^2P(x)+ax+b（あ）と表せる。
ｘ＝１を代入して、a+b=0∴ｂ＝-a
ゆえに、（あ）はｘ＾ｎ－１＝（ｘ－１）＾２Ｐ（ｘ）＋a(x-1)。
ここで、ｘ＾(n)-1=(x-1)(x^(n-1)+,,,+1)より、
x^(n-1)+,,,+1＝（ｘ－１）Ｐ（ｘ）＋aで、ｘ＝１を代入して、a=n。
余りはnx-n.
(2)
x＾２－2ax+a+2=0
a(1-2x)=-(x^2+2)
ｘ＝１/2のとき、この方程式は不成立。
ｘ≠１/2のとき、両辺を（１－２ｘ）で割って、a=(x^2+2)/(2x-1).
以下、微分して、グラフを描いた。
（疑問）
（１）ではｘ－１で割るときに、ｘ≠１のもとで割っているはずなのに、★そのあとの式で、ｘ＝１を代入して答えを求めています。
（２）ではｘ≠１/2のもとで、割り、得られたその後の式では当然ｘ＝１/2は定義域から外れます。
★の部分はｘ≠１のもとで割ったのだから違反行為ではないのでしょうか？
（しかしながら、答えは正しいようです）
（１）と（２）の違いは何なのでしょうか？
どなたかわかる方よろしくお願いします。困っております。

質問者からの補足コメント

• 

  両辺に掛ける形にして解くとはどういうことなのでしょうか？
  また、割るということはしていないというのもよくわかりません。
  両辺をｘ－１で割って得られた式にｘ＝１を代入しているのではないのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/03 03:16

• １週間以上反応せずにすみません。学校の部活の合宿に行っており、ＰＣが手元になかったためサイトを閲覧できませんでした。たくさんの回答をいただけてありがたく思っています。
  すべての回答を読ませていただきました。自分でも考えてみました。
  （１）の０で割るという可能性ですが、
  本問の解答
  「ｘ＾ｎ－１＝（ｘ－１）＾２Ｐ（ｘ）＋a(x-1)（あ）,x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+,,,+1)より、両辺をｘ－１（≠０）で割り、
  ｘ＾（n-1)+,,,+1=(x-1)P(x)+a（い）でｘ＝１を代入してa=nを得た。」
  まず、（あ）を両辺ｘ－１で割ったものが（い）という関係があります。
  （い）は（あ）をｘ≠１のもとで割って得られた式とはいえ、すべてのｘに関して成り立つ式です。ですからｘ＝１を代入しても成り立ちます。（続く）

    補足日時：2015/08/11 16:56

• （これは、数学３の極限の問題で０/０の不定形を回避するために、分母＝０となる因数を分子にも作り出して回避してやる方法と同じでしょうか？）
  こうしてaを求めて、すべてのｘに対して（い）を成り立たせるようなaが求まりました。当然、これの両辺にｘ－１をかけたものが（あ）なので、（あ）においても成り立ちます。
  ★０で割ってはいけないというのは分母＝０となるようにしてはならないと理解してよいのでしょうか？
  方程式でも(x-1)^2/(x-1)=0の解は約分できるので、ｘ＝１です。
  しかし、（２）のように、割り切れない場合、分母＝０となる値（ｘ＝１/２）が解になることはない。

    補足日時：2015/08/11 17:27

• (x-1)^2/(x-1)=0⇔ｘ－１＝０⇔ｘ＝１ではない
  最初の⇔は成り立たないのでしょうか？０で割ってはいけないというのがどういうことなのかわからなくなりました。

    補足日時：2015/08/11 18:13

• 回答ありがとうございます。
  本問の解答というのは問題集に書いてあったものなのですが、「」のように問題集は「」のように考えて解いたのだと思っていました。
  （い）は（あ）の両辺をｘ≠１のもとで、ｘ－１で割ったものですから、ｘ＝１では成り立たないはずですが、問題集の解答は（い）は（あ）の両辺をｘ－１で割ったものだと考えているというよりも、
  その事実は無視して、
  aが（い）を成り立たせるならば（あ）も成り立たせるし、（あ）を成り立たせるならば（い）も成り立たせるという関係にあるような（い）だと考えているのでしょうか？
  （だから、（い）はｘ＝１を代入しても成り立つのでしょうか？）

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/13 03:07

• 先ほどの投稿に追加してお聞きしたいのですが、
  （い）は（あ）を両辺ｘ－１で割ったものだとすると、（い）はｘ≠１という制約がつくのですよね？
  （０で割ってはいけないということの意味が気になったので、質問しています）

    補足日時：2015/08/13 03:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/03 00:06

(1) はもとから「割る」なんてことしてないからねぇ.

No.2 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/03 01:20

高校数学にて、「割る」形だと、ゼロで割る可能性があるので、全て両辺に「掛ける」形にして問題を解くことを教わりました。

ある意味「ずるい」と思った手法ですが、平面での直線、空間での平面の方程式等を解く場合等にも使われ、非常に重宝したことを覚えています。

＃１のTacosanさんが仰っているように「割る」ことをしていないのです。この限りにおいて、該当部分が「ゼロ」になったとしても「全てのXにて等号は成立する」という条件のみを使うことができます。「全てのXにおいて成り立つ」からこそ「ゼロ」になる値を代入しても成立するわけです。何ら違反は犯していません。

No.3 回答者： jmh 回答日時： 2015/08/03 03:09

例えばｘ^2＋ｘ－２をｘ－１で割った商は、ｘ＋２なのか、ｘ＋２の定義域からｘ＝１を取り除いたものなのか、どちらかというとただのｘ＋２だと思います、なんとなく。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/03 10:59

0割での誤りというのは

a(x-1)=b(x-1)

の両辺を(x-1)で割って

a=b

と結論付けること。これはx=1の場合のみ正しくないです。
式から「0になりうる因子を削除」しているからです。

任意の多項式f(x)は

f(x)=b(x-1)+c

の形に表せますが、bはf(x)をx-1で形式的に割って
求めることが出来ます。

x-1で形式的に割るというのは、式を
f(x)=b(x-1)+C という形式に変形した場合の
xの値に関わらずに決まるbを
求めるということです。

No.5 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/03 12:10

#2です。

F(x)を
F(x) = (x^n-1)
とします。

問題の「割る」という行為を質問文中の記号P(x), ax, bを用いて忠実に式に表わすと
( F(x) - (ax+b) ) / (x-1)^2 = P(x) （い）
となります。

この式は確かに x=1 では成立しませんが、P(x)を求めるための条件は{x=1以外の任意のxで成立する｝です。

で、両辺に(x-1)^2を掛けて整理すると
（あ）の式に変形することができます。
F(x) = (x-1)^2 P(x) + ax + b （あ）
この式のみでは、x≠1という縛りはありません。

したがって（あ）でP(x)を求める条件は{任意のxにて成立する}として何ら問題はありません。
条件が広くなって{x=1｝でも成立する式になっています。

この条件の元で、「ずるく」x=1を代入してa,bが満たすべき条件を出してやります。
（あ）の式でx=1を代入して求めた値は、（あ）の式にて{x=1以外の任意のxでも成立｝しなければならない条件となります。
任意のxにて成立しうるa,bが求まってしまえば、条件を狭めて、x≠1とし（い）の式を考えればいいことになります。

「ずるい」部分を要約するなら
制約された条件を含有する、より一般的な条件にて一般解を得られたなら、制約された条件でもその解が有効だ
ということです。（無論、２種類以上のパラメータにて、一般化するパラメータと異なるパラメータの値を求める目的にて有効）
（※質問の場合、求めたいものはa,bであり、一般化するパラメータはx）

応用として、下記があります。
２点(x1,y1), (x2,y2)を通る平面における直線の方程式は、一般的に
y = ( (y2-y1)/(x2-x1) ) (x-x1) + y1 --- (1)　（ただし、x1≠x2）
として計算することが多いかもしれませんが、より一般的には式を少し変形し、両辺に(x2-x1）を掛けた
(y2-y1) (x-x1) = (x2-x1) (y-y1) --- (2)
として表すことができます。
(1)では　x2=x1　の場合を別に分ける必要がありますが、（２）ではx2=x1、すなわちy軸に平行な直線も含んだ、より一般的な式となっています。
（※この場合、求めたいものはx,yの関係であり、一般化するパラメータはx1,x2）

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/03 16:29

手元資料には

A を B で割った商を Q, 余りを R とすると一般に
A= BQ + R
が成り立つ
って書いてあるんだよね.

ちなみに「両辺をｘ－１で割って得られた式にｘ＝１を代入している」とは, 具体的にどこからどこまでの操作のことを指しているのですか?

No.7 回答者： toko906725 回答日時： 2015/08/04 00:46

わかりやすく教えてやる。

ゼロで割ってはいけないというのは、分母をゼロにするなということ。
＞ｘ＾(n)-1=(x-1)^2P(x)+ax+b（あ）と表せる。
どこかに、分数があるか？ないだろ。式変形しているだけだ。34 = 3 × 10 + 4 みたいにな。分数がないんだから、割り算はしていない。
それだけのことだ。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
頑張って復習します。

お礼日時：2015/08/13 15:13

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/04 03:05

他の回答にもあるように、「割った余りを求め」ることが、模範解答では「割って、それから余りを求め」ることによっては行われていない。

なので、ご質問で心配なさるような事は生じていない。（整数の割り算を考えてご覧なさい。その場合にも、「割って、それから余りを求め」ることによって余りを算出するなんてこと、やらないでしょ？）
　つまり、「余り付きの割り算」というものは、いわば「ホンモノの割り算」ではないんです。用語が似ていても、実体は全くの別物。

　これは重要なポイントです。が、ご質問の根っこは、この事に関連してはいるものの、もっとずっと深い所にあるようにも思います。

　なので、その深みをちょっと覗いてみませんか。

　「数の割り算と、多項式の割り算とは、全くの別物だ」ということを、中学や高校できちんと教えていないのだろうと思います。

　実は、多項式の和・差・積は、普通の数の和・差・積とは別物なんです。どう別物かというとですね、和・差・積の演算を行う対象も、そしてその答も、多項式である。数ではなく、多項式そのものなんです。
　このことを呑み込まない限り、筋の通った理解には到達できんのです。が、これは『「文字"x"は、ホントは何かの数であるけれども、まだ分からないから仮に"x"と書いてある」という、文字の入った式を導入する際に使ったトリアエズの考え方』を脱却しなくちゃ、理解できない。「式そのものが演算の対象である」という、いささか抽象的な概念を扱う必要があり、ウンウン唸って考えるべき、なかなか難しい話です。

　なので、「いや、ま、そんな事よりとにかく慣れろ」という教育をやっとるんでしょう。が、時々頭の良い人がアレ？オカシイゾ？ドコカニゴマカシガアルゾ？と気づくという事態が生じる。それがこのご質問かと思われます。


　「ナニカある種類のもの」同士に何らかの演算を行って、答としてその同じ種類のものを得る、ということをやる、そういうルールで構成されたシステム（体系）を一般に「代数」あるいは「代数系」と呼びます。
　多項式同士の和・差・積は、あくまで多項式同士の演算であって、数の演算ではない。得られる答も多項式です。なので多項式同士の和・差・積の演算は代数なんです。
　 なお、変数を含まない式は数なのか多項式なのか。他の多項式を相手にして演算を行う場合、それは（変数がなく、定数項だけしかないけれども）あくまで多項式です。

　多項式の場合には（整数と同じく）和・差・積は必ず多項式が答になるが、商は必ずしも存在しない（つまり、余りが出てしまうことがある）。また、余り付きの割り算なら（"0"という多項式で他の多項式を（余り付きの割り算として）割る」こと以外なら）いつでもできる。
　こういう性質を持つ代数全般を環（カン）と呼びます。「整数の和・差・積の演算は環をなす」「多項式の和・差・積の演算は環をなす」という風に言いますし、整数の和・差・積の演算がなす環は「整数環」、多項式の場合は「多項式環」という固有の名前がついています。
　環における割り算は（整数の割り算と同じく）「余り付きの割り算」でしかありません。多項式Aを多項式Cで（余り付きの割り算として）割るということは、
　A = B C + D
を満たすB, D （いや、これだけじゃB, Dが決まりませんが、その話は省略）を見つけろ、という話に過ぎず、一般に（積の逆としての）商を計算できる訳ではない。A/C は必ずしも多項式じゃない（D=0とは限らない）ために「答としてその同じ種類のものを得る」ことができないからです。それが環です。

　これに対して、有理数、実数、複素数の四則演算は、(0で割る以外なら）余りのない割り算ができて、（積の逆になっているという意味で本物の）商が得られます。こういうタイプの代数全般を体（タイ）と呼ぶ。有理数、実数、複素数とそれぞれの四則演算がなす体には「有理数体」「実数体」「複素数体」という固有の名前が付いています。

　では、変数を含まない多項式同士（つまり定数項だけから成る式同士）の和・差・積の演算はどうか。それは、多項式同士の演算とみなすことができ、答も変数を含まない多項式になっている。また、ただの数同士の演算とみなすこともでき、そうすると答もただの数になっている。どちらでやっても答が同じになるように（つまり、普通の数の演算と多項式の演算が整合性を持つように）してある。この事情を「数の和・差・積の演算は、多項式環に埋め込まれている」と言います。さらに、変数にある数を代入したときにも、答が合うようにしてある。
　どうやってそうしているかというと、「多項式同士の演算のナカミで使われる係数同士の演算は数の演算によって行う」というルールにすることによってです。そういう仕掛けで、「文字"x"は、ホントは何かの数であるけれども、まだ分からないから仮に"x"と書いてある」という解釈が成り立つようになってる訳です。
　ですが、もちろんこれは、多項式同士で余り付きでない割り算をやると成り立たなくなる。それは多項式環の演算ではなく、答が多項式ではなくなるからです。

　結局、割り算には余り付きと余りなしの２種類があって、前者はかけ算の逆になっていない（体で行うような「ホンモノの割り算」になっていない）。そして、両者を混同なさったために出てきたのが、このご質問であろうと思う。

　ちうわけで、「"(x-1)^2"という多項式で他の多項式を（余り付きの割り算として）割る」ということは、多項式環の演算であって、これには何の問題もなく、x≠1かどうかを心配する必要もない。実際、A=BC+Dという式には分母ってものがありませんからね。
　一方、「"(x-1)^2"という多項式で他の多項式を（余りなしの割り算として）割る」のは多項式環の演算ではなく、このときにはx≠1かどうかを心配しなくちゃいけない。　


　さて、代数の考え方を理解するには、もっと他の代数を勉強した上で改めて多項式環を考えなおす、という方がキット易しいと思います。他の代数の例としては、集合同士の演算がなす代数であるとか、行列同士がなす代数であるとか、置換同士のなす代数であるとか、そして（演算対象も演算の計算方法も不明のまんまの）抽象代数であるとか。

No.9 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/05 07:09

＃2、#5です。

今回の問題点は微分（偏微分）の概念にも繫がると思います。

問題の式（割り算として表記）は
( F(x)-g(x,a,b) ) / f(x) = P(x) --- (1)
で、
掛け算としての表記は
F(x) = P(x)f(x) + g(x,a,b) --- (2)
となります。

そもそも、「xが任意の値を取る」という概念から、「ゼロで割っている」となる部分（f(x)部分）は、lim(x->1)という条件での極値として考えるべきです。このとき、分母の側も lim(x->1)という条件での極値として考えるべきです。
で、(1)は
F(x)/f(x) - g(x,a,b)/f(x) = P(x) --- (3)
と変形され、f(x)が(x-1)^2なので
lim(x->1); f(x)->0
また、F(x)もx^n-1なので
lim(x->1); F(x)->0
となります。
したがって
F(x)/f(x) -> 0/0
となり、極値や微分・偏微分の概念では、一般的に扱いうる範囲内（たとえばsin(x)/x）となっています。
すなわち、式の操作過程で「x=1ではなく、限りなく1に近い値」として考えればいいのではないでしょうか？

この場合、極値の概念のまま掛け算の形に式を変形し、x=1でも問題ない「より一般的な状態」にてx->1での極値を計算すれば（すなわちx=1を代入すれば）g(x,a,b)=nx-nが求まり、式(1)ないし(3)にてx->1としたときにも、
lim(x->1); g(x,a,b)/f(x) -> 0/0
となって、式としては矛盾しない範囲内となります。

No.10 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/06 07:07

#2,5,9です

#9で
＞このとき、分母の側も lim(x->1)という条件での極値として考えるべきです。
は
＞このとき、分子の側も lim(x->1)という条件での極値として考えるべきです。
でした。

極値では分かりずらければ、下記のように考えてみてはどうでしょうか？

H(x) = G(x)/f(x)
といった式を考える時、一概に「分母：f(x)=0となるxでは、H(x)は定義不可能」とはなりません。

たとえばG(x)=x^2、f(x)=xとすると、H(x)=ｘで、f(x)=0なるx=0でもH(x)は定義され、0となります。

ちなみにご質問の式の場合でも「元の式から余りを引いたものが割り切れてP(x)になる」のでどのみち分母は消え去るため、分母がゼロになるxであっても、何ら問題なく式の変形を行うことができると考えてみてはどうでしょうか？

さて（２）ですが、こちらも割り算は不要だと思います。
x＾２－2ax+a+2=0
で、x の実数解はすなおに根と係数の関係を用い
x=a±√(a^2-a-2)
として、ルート内部がゼロ以上という条件と　xの実数解のただ一つが満たす条件（文意から別の解は条件を満たさない？）とを組み合わせてaを求めるのが筋だと思いますが、いかがでしょうか？

話がそれましたが、こちらでは、H(x) = G(x)/f(x)の形にすると
f(x)=0なるx=1/2にてG(x)＝9/4です。
既にグラフを書いておられるでしょうからお分かりだと思いますが、
（小さい側から1/2に近づくときと大きい側から近づくときとで符号が反転しますが）
H(x)は±∞となります。

前回（＃９）でも述べましたが、分子部分と分母部分の両方ともがゼロに近づくとき、全体（分子/分母）の関数は定数に近づき、分母がゼロの場合でも定数値をとることがあるので、一概に「分母がゼロの場合に割り算の形に持ち込めない」と考えるべきではないでしょう。

ちなみに前回例として挙げたsin(x)/xはx=0のとき１となります。
→　「sinc関数」で検索してみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
頑張って復習します。

お礼日時：2015/08/13 15:13