x^4-16x^3+ax^2-bx+c=0が4つの異なった整数解を持つような組(a.b.c)は何通り

女子医大2010-3教学社赤本より引用
abcを正の整数とする。このときx^4-16x^3+ax^2-bx+c=0が4つの異なった整数解を
持つような組(a.b.c)は何通りあるか。どう解きますか。
答えは9通りです。
４次の解と係数の関係を使うしかないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 相反方程式はどうですか。

    補足日時：2015/12/25 05:30

• 回答者皆様のお力添えにより疑問点が整理されました。こちらの疑問点について教えていただきたいと思います。
  
  異なる4整数解をα、β、γ、δとする。
  α+β+γ+δ=16
  ここでx=α、β、γ、δが負の整数とすると
  x^4-16x^3+ax^2-bx+c=(-α)^4-16(-α)^3+a(-α)^2-b(-α)+c>0となり解を持たない。
  異なる4整数解α、β、γ、δは正の整数。0のぞくのはαβγδ=c、cは正の整数のため。
  4α<α+β+γ+δ<4γ
  α<4<γ
  たして16になる数を考えると
  10.3.2.1
  9.4.2.1
  8.5,2.1
  8.4.3.1
  7.6.2,1
  7.5.3.1
  6.5.3.2など
  とにかく書き出して9通り。ここでまずよく間違えます。数え落とし。数え過ぎ。ここ書き出そうにしても何か良い方法を知りたい。

    補足日時：2015/12/25 19:37

• さらに解答解説ではこれら9通りのα.β,γ,δに応じて異なるabcの組みも9通りとしています。なぜですか。ここも分からないのです。
  
  補足-参考文献 教学社赤本大学入試シリーズ2012東京女子医大339p52参照
  文字数オーバーで2つに分けました。

    補足日時：2015/12/25 19:39

• >解の組 {α, β, γ, δ}（順序に意味はない）と係数の順序対 (1, -16, a, -b, c) が１対１に対応する。
  tacosanさまのご指摘の通りここも分かっていませんでした。これはなぜ1対1に対応するのですか。

    補足日時：2015/12/26 02:15

• 数え上げの方法。書きましたが効率が悪いです。何かアイディアありませんか。
  1 2 を固定
  (縦方向の数左側２列
  10 987は順に減らす。
  3456順に増やす。
  10 321
  9421
  8521
  7621
  
  3,1を固定
  8,4,3,1
  7,5,3,1
  
  4,1を固定
  6541
  
  3,2を固定
  7432
  6532

    補足日時：2015/12/26 06:25

• 回答者様の文を引用しまとめます
  解が決定されれば
  三次でも四次でも、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......=0(ここ0入りますか。違っていたら教えてください)という書き方になる。
  よって解が決定されｓが固定なら式は１通りに定まる。よって係数も１通りに定まる。
  
  これでいいでしょうか。

    補足日時：2015/12/26 20:10

• 組(a.b.c)は例えばですが(1.2.3),(1.2.4)のように一部の係数が同じになることはありますよね。
  なぜなら(x+1)(x-4)=x^2-3x-4 (-3.4)
  (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 (-3.2)
  
  ですが(1.2.3)が二回でてくることはないってことですか。なぜですか。解が分数だったりマイナスなら一致したりしそうです。もう少しで完全にわかりそうです。

    補足日時：2015/12/26 20:41

• 解が決定されれば
  三次でも四次でも、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......=0と書ける。
  よって解が決定されｓが固定なら式は１通りに定まる。よって係数も１通りに定まる。
  この解とは正の整数限定ではありませんよね。解は実数の範囲ですよね。

    補足日時：2015/12/26 20:59

• 補足があと一回しか出来ないため
  a+b+c+d=16ただし 0＜a＜b＜c＜dの部分は質問を上げ直しました。
  ここまで詳しく回答いただきありがとうございました。ここまで数学の質問にお付き合いしていただけることはそうはありません。
  大変勉強になりました。

    補足日時：2015/12/27 04:13

No.14 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/28 00:39

> 数学的に正しい表現

こっちが聞きたい。(爆)
私の話は眉に唾をつけておいて。数学者では無いし、大学できちんと数学をやってませんから、細かい言葉遣いや細かい概念は、特に深い数学に裏打ちされてもいませんので、たぶんめちゃくちゃでしょう。

で、P(ｘ)＝ｓ(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)(ｘ－δ)
なんて辺りは、教科書か参考書をもう一度読み返しておいてください。

この回答へのお礼

解が決定されれば
三次でも四次でもn次でもｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......=0と書ける。
よって解が決定されｓが固定なら式は１通りに定まる。よって係数も１通りに定まる。この解とは実数解だけでなく虚数解も含む。

一応n次にしました。

独学で大学入試を迎えるため不安ですが教えていただける方がいて大変心強いです。素晴らしい知識量です。本当にありがとうございました。

お礼日時：2015/12/28 00:54

No.13 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/27 01:17

> ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......=0(ここ0入りますか。

入りますよ。
解って何でしたっけ？頭の中がグルグルになっているんでしょうけど。
公立中学を出ているなら、高一か高二で、Ｐ(ｘ)はｘ＝３なら１余って２ならどうとかで、なんて辺りでやりませんでしたか？
中高一貫校なら、中二か中三でやっているかもしれませんが。

ｆ(ｘ)のｘに解αをぶち込むと、ｆ(α)は必ず０になる。
必ず０になるのは、ｆ(ｘ)は(ｘ－α)を因数に含んでいるから。
同様に、(ｘ－β)、(ｘ－γ)、(ｘ－δ)も含んでいる。
四次式という条件ですから、これ以上の因数は、無理。

> この解とは正の整数限定ではありませんよね。解は実数の範囲ですよね。

んにゃ。
虚数解まで含む。
二次方程式に立ち返ってみて。ｙ＝ｘ^2－１ならいいけれど、ｙ＝ｘ^2＋１は、じゃぁどう書くの？って。
解の方程式で、ちゃんと虚数解が出るわけです。その虚数解を使えば、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)=0とちゃんと書ける。
この問題に関連づけると、4解を持たない、2整数解、2実数解しか持たない、ということは、ひょっとすると、残りの二つは虚数解なのかもしれないのです。
グラフがｘ軸に触れない辺りのどこかに(？)、虚数解があるのかも。
実数解を持つとは、虚数解になっちゃうとは、と私はちゃんと意識しましたけど。

> ですが(1.2.3)が二回でてくることはないってことですか。なぜですか。解が分数だったりマイナスなら一致したりしそうです。

四次式だと、解は同じでＷ字の右の谷だけが深い式、なんて作れますかね。
全部の傾きが緩いかきついかなら、ｓを変えれば実現しますが。
Ｗ字の右の谷を深くしようと思ったら、三次の項の係数をマイナス側に大きくすれば実現できそうです。
深くした上で、右側の二つの解は維持する。
しかし、すると、Ｗ字の右側にも影響が出ますよね。こっちは浅くなるから解は維持できないでしょう。
右の谷が深くなるのに、右の二つの間隔を一致させようとすれば、大概その時点でｃを大きくしてWを持ち上げることになるでしょうね。その時点で既に左の二つの間隔が狭まるはずなのに、3次の項の影響で更に上に上がってもっと狭くなっちゃう。
ってのは、グラフの中でグラフを足し算して考えているんですが。
ｙ＝ｘとｙ＝２ｘという二本のグラフを描く。ｘ＝１のときはｙ＝１と２でしょう。足し算すると、１＋２＝３の所にプロットできるはず。っと繰り返していきます。曲線でも一緒。概形の議論なら少しはできます。微妙な物の議論は避けるべきですが。
ま、なんか同じ物がありそうな気がするのはそうですが、たぶん無いでしょう。

あるいは、連立方程式として考えても。
ｙ＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒ
判らないのは三つだから、式が三つ欲しい。
つまり、解に限らず、このグラフが通る、別々の3点が確定すれば、このｐｑｒは定まる。
ｙ＝ｘ^2＋ｑｘ＋ｒ
なら2点が確定すれば良い。その2点が、2解でも良い。
ｙ＝ｘ^4＋ｑｘ^3＋ｒｘ^2＋ｔｘ＋ｕ
であれば、4点が確定すれば4係数は定まる。....はず。本当にいつでも解けるのかどうかは知りませんが。

>組(a.b.c)は例えばですが(1.2.3),(1.2.4)のように一部の係数が同じになることはありますよね。

その二組は典型例でしょうが、その両グラフの違いは、後者が全体的に１だけ上に上がっているわけです。
解が同じわけは無いでしょう。
その下の2例も、実際解が違うでしょう。「－１と４」と「１と２」で。


大学側の方針にも依るでしょうが、部分点をきっちり取ってくれるところなら、αβγδの組を全部書き出したら、私なら他の問題に移るでしょう。
私ならどうせどこか計算を間違う。(爆)
まぁ計算間違いする人は、医者になっちゃいけませんが。

なお、書き出すのはたぶん面倒ですよ。
ただ、αβγδの範囲を、可能な限り絞ることでしょう。たとえばα＝３もδ＝５も無いとか。

この回答へのお礼

多分大丈夫だと思います。ありがとうございます。素晴らしい解説です。
まとめると

解が決定されれば
三次でも四次でも、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......=0と書ける。
よって解が決定されｓが固定なら式は１通りに定まる。よって係数も１通りに定まる。この解とは実数解だけでなく虚数解も含む。

これでいいでしょうか。
数学的に正しい表現ではないところがあればご指摘ください。

お礼日時：2015/12/27 06:51

No.12 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/26 10:08

> ここ詳しくお願い申し上げます。

普通に展開すれば良い。
3次の項だけじゃ無く、2次、1次、0次の項も、解から係数が出せるでしょ。

二次式なら、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)という書き方しか無いでしょう。
虚数解であることならあるんでしょうけど。いや、そうでないと、二次方程式の解の公式からどうにもならない。
ｓが変わるなら同じ解で違う式は可能でしょうが、その問題だとｓは１に固定されている。
三次でも四次でも、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......という書き方になるのは変わらないでしょう。
だからｓが固定なら、解の組み合わせと係数の組み合わせは1対1。

この回答へのお礼

αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ=a
αβγ+αγδ+αβδ+βγδ=b
αβγδ=c
上の式に求めた9種類のα,β,γ,δ代入して計算。と考えたのが良くなかったですか。

ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/26 19:53

No.11 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/26 09:10

No.5, 6, 7 です。

君が No.6 のお礼で指摘する通り、負の数の解はないね。No.8 さんの指摘もですね。
自明にも思えることに気づかないとは言葉もない…


割り込んでおきながら何だけど話をまとめると、解と係数の関係を使うやり方は、問題を

α＋β＋γ＋δ＝16
を満たす正の整数の組 {α, β, γ, δ} の数を求めよ。ただし、{2, 3, 5, 6} と {6, 2, 5, 3} のように、入れ替えてできるものは同じものとみなす。

に置き換える。
あれこれメンドウなことをせずに代表を数えたほうが確実で早い、ということだね。


君が補足に書いているような挙げ方でいいと思う。私は小さい順に並べたものを代表として書き出したので、同じことをやっていると思う。



> 解が同じなら係数同じ。
> 係数同じなら解同じ。

せっかくなので代わりに答えるよ。大雑把にだけど。

方程式
x^4-16x^3+ax^2-bx+c=0
が４つの異なる解 x=α, β, γ, δをもつなら
因数定理（多項式 f(x) において、f(α)=0 ならば f(x) は x-α を因数に持つ）から、
x^4-16x^3+ax^2-bx+c=(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)
がいえる。
展開の仕方で係数が異なることはない。１行目解決。No.10 に書いてあるけど。
x=εが方程式の解なら
(ε-α)(ε-β)(ε-γ)(ε-δ)=0
となりεはα, β, γ, δのうちのどれかに一致する。
α, β, γ, δ以外の解が紛れ込むことはないから係数の組が解の組を１つ決める。２行目解決。
自明って気がしなくもない。

この回答へのお礼

素晴らしいです。ありがとうございました。しかしもう少しで完全にわかりそうです。補足書きました。
hiccupさまや回答いただきました皆さまのような非常に高い数学の力をお持ちの方はほとんど見ないので是非お力添えお願いします。

お礼日時：2015/12/26 21:02

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/26 01:44

へ?

解が (全体として) 同じなら係数は同じになるに決まってるし, 逆に係数が全て決まればそこから解は (全体として) 1種類しかありえないでしょ?

っつ～か, #5 に書いてあるんだけど, そこは疑問に思わなかった?

この回答へのお礼

αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ=a
αβγ+αγδ+αβδ+βγδ=b
αβγδ=c
上の式に求めた9種類のα,β,γ,δ代入して計算したらα,β,γ,δの値が違ってもa,b,cの値が同じになることがあるのではないか。何を言っているかというとα,β,γ,δは9種類あってもa,b,cは8種類とか7種類になることがあるのではないかと思ってしまうのです。

おそらく
解が同じなら係数同じ。
係数同じなら解同じ。
これも分かっていません。

お礼日時：2015/12/26 02:08

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/25 23:26

「足して 16 になる整数」をどうやって書き出すかだが, これはもう「慣れ」というのが早いかもしれん. 困ったら樹形図でも書け.

あと, 「これら9通りのα.β,γ,δに応じて異なるa,b,cの組みも9通り」というのは #5 にある通りだな.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。しかし
>あと, 「これら9通りのα.β,γ,δに応じて異なるa,b,cの組みも9通り」というのは #5 にある通りだな.
ここが分からないです。

お礼日時：2015/12/26 01:14

No.8 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/25 22:59

ｘが負の時は、ｙは負の値になりようが無いのです。

各項が全部正になっちゃいますんで。
従って、解は全て正か０です。
ｃが０のときのグラフは原点を通りますんで(ｘ＝０のとき、必ずｙ＝０)、グラフを上下に平行移動させるｃが０でないなら原点を通りません。本当はもっと正確な説明が必要ですが。

> 4α<α+β+γ+δ<4δ

とα+β+γ+δ＝１６だけで良かったのか。

> abcの組みも9通りとしています。なぜですか。

ｙ＝(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)(ｘ－δ)
ですから、abcを計算したら。

グラフから導き出すのは、三次式の解が出せないから無理ですね。

この回答へのお礼

もう少しでわかりそうです。
>ｙ＝(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)(ｘ－δ)
>ですから、abcを計算したら。

ここ詳しくお願い申し上げます。

お礼日時：2015/12/26 01:12

No.7 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/25 21:40

No.5, 6 です。

αβγδ>0 から負の解の個数の可能性は０、２、４個。
α+β+γ+δ>0 から４個は否定される。
２個は否定されるかを考え中。
やりたいことあって集中できないが。

この回答へのお礼

ありがとうございました。補足も書きましたのでそちらも是非回答していただきたいです。

お礼日時：2015/12/26 06:35

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/25 19:46

お、申し訳ない。

正の整数解といつの間にか誤認していたよ。
自分にプンプン。
考えてみる。

この回答へのお礼

いいえhiccupさまが正解です。
x=α、β、γ、δが負の整数とすると
x^4-16x^3+ax^2-bx+c=(-α)^4-16(-α)^3+a(-α)^2-b(-α)+c>0となり解を持たない。
異なる4整数解α、β、γ、δは正の整数。0のぞくのはαβγδ=c、cは正の整数のため。
このため正の整数解で正しいです。ありがとうございます。回答お待ちしております。

お礼日時：2015/12/25 19:53

No.5 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/25 18:22

解の組 {α, β, γ, δ}（順序に意味はない）と係数の順序対 (1, -16, a, -b, c) が１対１に対応することに注目すると、解と係数の関係のひとつの式だけで解決するではないか。

じれったくてコメントするよ、ぷんぷん。

この回答へのお礼

ひとつの式ですか。4次方程式の解と係数の関係式は4つあるのではないかと思ってしまいます。

ごめんなさい。もっとよく考えますが分からないかも知れません。
是非補足お願いします。

お礼日時：2015/12/25 18:37