剰余の問題

S_(a^b)を1からa^bまでの正の整数を全て足したものとする(aとbは正の整数)

この時、
S_(a^b)≡S_(a) a^(b-1) (mod a^(b))
であることを示せ。

質問者からの補足コメント

• 私的研究が既出かどうか調べている質問と言うべきでしょうか？
  
  証明過程は既出でなければまだ公開はしません。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/31 01:43

No.8 回答者： kmee 回答日時： 2016/01/01 10:54

S_(n)=Σ_k=1,n(k) = (n)・(n+1)÷2

S_(a^b)
= (a^b)(a^b+1)÷2 ...(1)
= (a^b)(a^b)/2 + (a^b)/2 ...(2)

aが奇数の場合
a^b+1 が偶数になるので
(a^b+1)÷2は整数
よって、S_(a^b)=0 (mod a^b)

aが偶数のとき
(a^b) は偶数なので
(a^b)/2は整数
よって、S_(a^b)≡ (a^b)/2 (mod a^b)

S_(a^b)・a^(b-1)
(以下略)

従って S_(a^b)≡S_(a) a^(b-1) (mod a^b)

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○ 1/2 の展開
そのままできなくても、場合分けしたら対応できる、というのはよくあります。
例) 1/3がある式を n=3m,3m+1,3m+2 に場合分け、それぞれで成り立つことを証明し、全て整数で成り立つことを示す。

○既出かどうか
「私的研究」とやらが「『S_(a^b)≡S_(a)・( a^(b-1)) (mod a^b) である』という命題について」であって、それが既出かどうかなら、少なくとも、今こうして証明が公開されたので、この後にあなたが公開しても、それは「既出」のものです。

証明方法が既出かどうかなら、上記の証明とあなたの証明方法が一致しなかったからといって、「あなたの証明方法は既出のものではない」ことは証明されません。
「全ての証明方法を調べて、一致していないことを確認する」「既出ということが起り得ないことを証明する」「既出だとすると矛盾すること示す」等が必要です。

新しい証明方法、というのは、それほど重視されていません。
「三平方の定理」など、今でも「新しい証明方法」が出てくるくらいです。

証明過程で、この関係を使っている箇所がある、という程度なら、既出かどうかは大して問題ではありません。

正直、そこまで頑なに隠す意味は無いように思います。

この回答へのお礼

以下略とされてもね^^;


展開方法が別の用途に使えそうなので公開しないだけです。

お礼日時：2016/01/01 12:01

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/01/01 02:42

うん, 「1/2が出てくるから一般的な式展開はできませんよ？」は意味不明だなぁ. まさか,

1/2 が出てくるから整数かどうかわからない
などとボケてるわけじゃないんだろうなぁ....

もしそうなら, その点については小学生でもわかるレベルの話だといっておこう.

この回答へのお礼

まあそうですね。

普通の感覚ならそれがでてくるというだけのはなしです。

お礼日時：2016/01/01 11:55

No.6 回答者： deeton 回答日時： 2015/12/31 14:51

> 1/2が出てくるから一般的な式展開はできませんよ？

どういう意味ですか？

この回答へのお礼

証明するか反証を立てるかがこの質問の回答条件です。

お礼日時：2015/12/31 20:35

No.5 回答者： deeton 回答日時： 2015/12/31 02:45

そんな大袈裟な（笑）

標準的学力の高校生で、2分～3分もあれば余裕で証明できますよ。
どこか勘違いしていないか、もう一度確認してみては？

この回答へのお礼

1/2が出てくるから一般的な式展開はできませんよ？

お礼日時：2015/12/31 10:06

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/31 01:09

もし, あなたがこの命題に対する証明をしていてそれが正しいかどうかを知りたいのであれば, あなたの「証明」を書いたうえで「それが正しいかどうか」という形の質問にすべきである.

もちろん, あなたが自分で証明しようと思わず他人に書いてもらってそれをあたかも「自分が証明した」かのように見せたいのであれば話は別だ.

この回答へのお礼

その証明がまだ公開されていない(知られていない)ならば、ここに書くことによる公表はしない。(私の中では証明できたつもりですが、その過程で計算ミスをしまくったためこの質問をしています)

少なくとも論証する回答がなければ、私の考えた方法は広く知られていないことを意味すると捉える。
そんな程度の話です。

お礼日時：2015/12/31 01:37

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/30 23:35

なぜ私が示さねばならないのですか?

言い換えると, あなたはどこがわからないゆえに質問しているのですか?

この回答へのお礼

合っているかどうかが知りたい。

お礼日時：2015/12/31 00:27

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/30 01:28

定義に従って, 両辺の差をとればいいんだね.

この回答へのお礼

差をとって成り立つことを示してください。

お礼日時：2015/12/30 09:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/30 00:16

確認.

「S_(a^b)」が「1からa^bまでの正の整数を全て足したもの」というのはいいとして, では「S_(a)」とはいったいなんでしょうか? そして, 「a^(b)」はどのように定義されているのでしょうか (いいかえると, ただの「a^b」とこの「a^(b)」の違いはなに)?

この回答へのお礼

S_(a)は1からaまでの自然数の和、a^(b-1)はaのb-1乗を表します。
S_(a) a^(b-1)は、S_(a)とa^(b-1)の積を表します。

最後のa^bとa^(b)は同じものです。

お礼日時：2015/12/30 00:22