中学校入試レベルの問題です。なぜそうなるのか、教えてください。

いつもお世話になります。よろしくお願いします。

中学校入試なので、三平方やルートはなしでお願いします。

答えは17.58cm2とのことです。

(正方形の面積)27cm2-(30度の扇形)9.42ということになるのでしょうが、
27cm2の求め方がわかりません。


もちろん、別のプロセスでも構いませんので、解法を教えていただけないでしょうか。

No.7 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/08 19:21

１辺が６cm の正方形を描き、30 度の線を延長する。

正方形と斜め線でできた２つの相似な図形に注目する。

２つの直角三角形を 30 度の角で重ねる。そのとき、小さい方を裏返す。

それらの直角三角形は正三角形の半分であることを思い出すと、差額の小さな直角三角形を組み合わせてできることがわかる。
つまり、２つの直角三角形は、この小さい直角三角形の４つぶんと３つぶんである。

最後に、形は同じで大きさが違う２つの図形を並べてみる。
直角三角形の面積は４：３、大きい方の正方形の面積は 36 平方センチメートル、だったら小さい方の面積は 27 平方センチメートル。
あとは小学生の直感に頼る。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
よくわかりました。

灘中模試の問題でした。
http://sansu-seijin.jp/?p=4744

ちなみにここのヒントにある
「30度の二等辺三角形と正方形の面積比」というのがさっぱりイメージできず、
質問させていただきました。

感謝します。

お礼日時：2016/01/08 21:39

No.9 回答者： funoe 回答日時： 2016/01/09 20:28

>「内角が120°で一つの辺が６ｃｍ、もう一辺がｔ」はわかりますが、

>そうするとなぜ△ＯＧＢ’と等しくなるのでしょうか?

中学生以上への説明なら当たり前ですが「合同だから」
小学生（中学受験生）向けの説明なら、「頂点Ｏを中心に左辺と右辺をひっくり返した（取り替えた）、同じ形だから」

小学生は「合同の定義」を習っていませんが、「移動して重なる」「回転して重なる」「ひっくり返して重なる」とき、同じ形（同じ面積）になるということは利用・活用してよいです。（頻繁に使います）
ちなみに、「重なることの厳密な証明」などは小学生に求められていません。

この回答へのお礼

すみませんでした。
ご説明を最初から読めば、書いていただいてましたね。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2016/01/10 07:20

No.8 回答者： funoe 回答日時： 2016/01/09 07:59

出題図の正方形の左下をＯ、左上をＧ、右下をＨとする

出題図に合わせて１辺６ｃｍの正方形を描き、左上をＣ、右下をＤとする。
正方形下辺の下側に点Ｂの対称点Ｂ’を置く。（∠ＤＯＢ’＝３０°、ＯＢ’＝６ｃｍ）
ＯＤとＢＢ’の交点をＨと置く。
ＯＢとＡＤの交点をＦ。正方形下辺の下側に点Ｆの対称点Ｆ’を置く。（∠ＤＯＦ’＝３０°）


解法）
直角二等辺三角形△ＯＧＨは、求めたい正方形の面積の半分の面積である。
△ＯＧＨと△ＯＧＢ’の面積は等しい。
ＯＨ、ＯＧの長さをｔとすると、ＯＦ’＝ｔ（△ＯＦ’Ｄは斜辺６ｃｍで30°60°の直角三角形）
△ＯＧＢ’は、△ＯＦ’Ｃと同じ面積である（内角が120°で一つの辺が６ｃｍ、もう一辺がｔ）
△ＯＦ’Ｃと△ＯＥＣと同じ面積。

ところで△ＯＤＦは斜辺６ｃｍで30°60°の直角三角形なのでＤＦ＝３ｃｍ
△ＥＤＦは斜辺３ｃｍで30°60°の直角三角形なのでＥＤ＝１．５ｃｍ
ＥＤ＝１．５ｃｍなので、ＯＥ＝４．５ｃｍ
△ＯＥＣは、底辺４．５ｃｍ、高さ6ｃｍの三角形なので面積４．５＊６／２＝１３．５ｃｍ^2

求めたい正方形の面積の半分が13.5なので正方形の面積は２７ｃｍ^2

この回答へのお礼

ありがとうございます。一点理解できません。

>△ＯＧＢ’は、△ＯＦ’Ｃと同じ面積である（内角が120°で一つの辺が６ｃｍ、もう一辺がｔ）

「内角が120°で一つの辺が６ｃｍ、もう一辺がｔ」はわかりますが、
そうするとなぜ△ＯＧＢ’と等しくなるのでしょうか?

お礼日時：2016/01/09 19:03

No.6 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/01/08 18:35

泣く子と地頭には勝てない、その泣く子もなくだけです、勝手に・・・・・。

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/08 06:12

じゃあ、できない。

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/07 18:45

習ってなくても入試で求めてくる学校なんか山ほどありますが？

中学入試と言っても平方根くらい出てくるんじゃないですかね？

この回答へのお礼

申し訳ありません。
そういう意図で質問しているわけではありませんので。

「三平方やルートはなしでお願いします」
という質問をさせていただいております。

お礼日時：2016/01/08 00:26

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/06 19:40

No.2ですが、長さの比が1:2:√3の三角形は習ってますか？

この回答へのお礼

小学校では習いませんね。
平方根が出てくるのが中3になりますね。

お礼日時：2016/01/07 10:13

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/05 22:19

90度を3等分すると、A点からB点までの間隔は30度です。

円一周が360度ですから、30/360=1/12です。

半径6cmの円の面積は36π、原点とABを結ぶ扇型の面積は1/12だから3π=9.42

底辺とBまでの長さは、角度が30度だから3cm。
原点からBから下ろした垂線までの長さは3√3
四角形の面積は(3√3)^2=27
これから9.42を引くと
27-9.42=17.58cm2

この回答へのお礼

中学校入試なので、三平方やルートはなしでお願いします。

お礼日時：2016/01/06 00:42

No.1 回答者： kenmary1961 回答日時： 2016/01/05 22:15

色のついた下の直角三角形の、左側の角度は３０度です。

従って、四角形の辺の長さは、６×cos(60) = 6 × √3/2 = 3 × √3です。
従って四角形の面積は3 × √3　の二乗である　27です

この回答へのお礼

中学校入試なので、三平方やルートはなしでお願いします。

お礼日時：2016/01/06 00:42