待ち行列の問題の解き方を教えてください

課題で出された待ち行列の問題があるのですが題意が掴めず、解説サイトを様々見ましたが類似のものを発見できず、まったく手も足も出ない状況で困り果てています。
以下が問題文の要約となります。

【郊外店舗が駐車場の利用を考える際、車で来る客は一時間に4台（4組）の割合で訪れ、車の客もその他の客も買い物時間は一組当たり30分とする。今駐車場が満車で駐車できない時間を3分以内にするためには、駐車場を何台用意すれば良いか】

・恐らくM/M/s型（窓口が複数）の場合を提起しているのでしょうが、その場合だと公式のP0（ρではなく）の計算をどのようにすれば良いのか分からず詰んでいる、としか考えられませんでした。（Excelで階乗を含むΣ式の計算は不可では？）
・モンテカルロシミュレーション的乱数分析手法についても解説していましたが、rand関数の使い方や指数関数自体の意味も分からないため、到着間隔・到着時刻などの乱数数値をどのように求めたのか・そもそも窓口数を問う題意なら（平均待ち時間推測などの「結果」は求められても）逆算して窓口数を導出すること自体できるのかどうかも分からず、こちらを利用しての解法も詰んでいるという状況です。（到着率についての言及があるので、利用すること自体が不適？）

言い訳を長々と続けてきましたが、私が今回お聞きしたいポイントとしては『具体的にどのような計算手法・数式を用い』『なぜその手法を用いるのが適切なのか』について解説していただきたいです。具体的な数値を上げていただかなくても構いませんので、とにかく「何を使い、どうすれば解けるのか」という解法自体への解説をお願いしたい次第です。
もし例示で別サイトを挙げられる際には、単純にURLを挙げただけではなくそのサイト内のどの項目を・どういった理由で用いるのかについてまで説明していただきたいです。
何卒よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  申し訳ありませんが数学的な論理に関して自分はからっきしでして、少々戸惑う部分があります。
  なぜρを4nと置いたのでしょうか？解説サイト内数式でもρの値はλ/μから求められるとあるのでμを無視して駐車台数：nを基準とした平均利用率（混雑解消率）を設定していいものなのか、どうも感覚的に捉えにくいように感じられました。
  「そういうもの」でしたら深く考えず慣れるようにしたいと思いますが・・・・計算してみた結果答えはn≦14.822（近似値）となり、最低でも14台以上の駐車場が必要である、と求められたのですが計算式的には合っていますでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/07 03:24

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2016/01/06 23:55

詳しくは無いのですが、解り易いサイトが有りましたので紹介します。

http://objectclub.jp/technicaldoc/monkey/s_wait

この説明の中の式に
λ＝4　（台／時）、ρ＝4ｎ（台／時）ｎは駐車スペースの数、
平均サービス時間Ｔｓ＝30（分／台）、待ち時間Ｔｗ（分）で
Ｔｗ≦3（分）として、
式　Tw = (ρ/(1-ρ)) Ts
それぞれを代入して、次元を合わせ、代数計算によりｎを
求める。

解説は＜猿でもわかる＞そうです。変な数学用語に惑わされないで
下さい。

No.2 回答者： drmuraberg 回答日時： 2016/01/07 08:50

すみません

ρ＝4/（ｎ/30）　次元（台/時）÷（台/分）＝無次元、の間違いでした。
ｎ＝22
でしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/07 10:58

＞恐らくM/M/s型（窓口が複数）の場合を提起しているのでしょうが

　一見したところそうなのですが、M/M/s型は「到着する客もランダム、窓口処理時間もランダム」な場合に適用するモデルで、この場合で言えば「10分、20分の短時間の駐車もあれば、食事などで3時間、4時間駐車する人もいる」という場合に適用します。
　ここでは「1台30分」という一定時間の駐車しか想定していませんので、1スペース当たり「1時間に2台」の処理、2スペースあれば「1時間に4台の処理」、というように一定比率の処理ができるので、「駐車場」という１つの窓口と考えて、「M/M/1」型で処理して構わないケースです。
　そうしないと、「M/M/s型で、窓口の数を求める」というのは、ちょっと高級すぎます。

　問題を整理すれば、
（１）N台駐車可能な駐車場に、駐車待ちの車の列があり
（２）平均で1時間に4台の新たな車が列の後ろに並ぶ
（３）駐車してから30分後に、買い物を終えて車が出て行く（最大で1時間に２N台処理できる）
ということですよね。

　ここで、「M/M/1」行列で定義される「到着率：λ」と「サービス率：μ」を考えると、
　　λ = 4 （台/h）
　　μ = 2N （台/h）
となることはよろしいですよね？　「μ は N によって分布の形が変化する」というようなことがないので、単純にこう書けます。

　これが分かれば、あとは解けますよね？

利用率 ρ = 4/2N = 2/N
平均サービス時間 Ts = 1/μ = 1/2N
平均待ち時間 Tw = Ts * ρ/(1 - ρ) = (1/2N) * (2/N) / ( 1 - 2/N ) = 1 / ( N^2 - 2N )

平均待ち時間を「3分=(1/20)時間」にするには、
　　1 / ( N^2 - 2N ) ≦ 1/20
イコールとなるときの二次方程式を解けば
　　N = 1 ± √21
N>0 なので
　　N = 1 + √21 ≒ 5.58
より
　　N ≧ 6
となります。

　検算のために、N=5としてみると
　　ρ = 2/5
　　Ts = 1/10(h) = 6 (分)
　　Tw = 6(分) * (2/5) / (3/5) = 4(分)

N=6 としてみると
　　ρ = 1/3
　　Ts = 1/12(h) = 5 (分)
　　Tw = 5(分) * (1/3) / (2/3) = 2.5(分)
で、確かにN=5 と N=6 の間で「3分」を切っていることが分かります。


　この問題の場合は、「M/M/1」型で処理して構わない、という当たりを付けられるかどうかがポイントだと思います。
　そのためには、「公式」を形や外見で覚えるのではなく、「M/M/s型」の「s」は、窓口での処理時間もランダムである場合には「処理時間のバラツキの統計処理」が必要だから、という「処理の意味・理由」をきちんと理解することが必要なのだと思います。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/07 11:12

No.3です。

蛇足ながら、No.1/2さんの回答では、

＞平均サービス時間Ｔｓ＝30（分／台）

と一定にしているところと、

＞ρ＝4/（ｎ/30）　次元（台/時）÷（台/分）＝無次元、の間違いでした。

で「時間」と「分」を混在させているところが、間違いかと思います。平均サービス時間は、ｎによって変化します。