物理で、浮力はρVgだそうですがこの式の導出に納得がいきません

物理で、浮力はρVg（ρは水の密度、Vは物体の体積、gは重力加速度）だそうですが、この式の導出に納得がいきません。

参考書では。。。（物体の底面積をS、上面の深さを h'、物体の高さをhとすると）

浮力 = 物体の下面を押す力 - 物体の上面を押す力 であって、

上面を押す力＝ρSh'g
下面を押す力＝ρS（h'+h）g・・・（★ここが納得いきません）

なので、物体に働く浮力は
ρS（h'+h）g - ρSh'g = ρShg = ρVg

となってますが、
★の部分は、もし物体の密度が水とただしければこれで納得できるのですが、
物体の密度がρ'だとしたら、
ρSh'g + ρ'Shgでなければならないのではないでしょうか？
（物体の重力の反作用を考えてるはずなので）

よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。ですが、＃２様と＃３様のご回答がわからないので、
  ＃３様への補足にまとめて再質問させていただきます。
  
  以上、よろしくお願いします。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/25 13:19

• 説明不足だったようです。失礼しました。
  私の理解は以下のようなものです。
  参考書 を見ると、水圧はそこに乗る直方体の部分の重さとあります。
  なので、私は、物体の下面を押す力は、物体の重さと物体より上のある直方体部分の水の重さだと考えて、
  物体の下面を押すとからは、ρSh'g + ρ'Shg（ρ'は物体の密度）と考えてしまったわけです。
  
  ＝＝＝
  
  なので、＃２様が、
  ＞「下面を押す力＝ρS（h'+h）g」も水深が変わっただけなので同じことでは．
  とお書きになりましたが、
  下面を押す力は、物体より上のある直方体部分の水の重さだと考えて理解したつもりです（誤解でしょうか？）
  で、
  ＞「水深が加わっただけ」
  とおっしゃいますが、加わった部分は物体なので、液体の密度ρではなくて物体の密度ρ'を用いるべきではと考えたしだいです。
  
  ＝＝＝
  字数が足らないので２つに分けます。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/25 13:23

• （つづきです）
  
  ＃３様wrote
  
  ＞物体に働く重力とか、その反作用だとかは一切関係ありません。
  
  作用・反作用と力のつりあいと重さと浮力と垂直抗力をごっちゃに考えていました。
  
  ＞浮力は上面と下面に働く圧力の大きさの違いがもとで発生します。
  圧力の大きさの違いというのはわかりますが、前述のようにその違いぶんは物体の重さではと考えてしまったのですが、違うのでしょうか？
  
  ＝＝＝＝＝
  
  以上、よろしくお願いします。

    補足日時：2016/01/25 13:23

• ＃７様がおっしゃっている、水平方向に水が流れてしまう、というのはよくわかります。
  
  ですが、
  ＃７様wrote
  上に何が乗っているかは無関係
  と
  ＃５様 wrote
  ＞下の面にかかる力は大気圧Poの他に水圧ρg(ｈ’+h)Ｓ
  というのが、ひっかかります。
  
  物体がないときの図で、
  水圧とは乗っている水中の重さであると、参考書で理解したので、
  
  物体が浮いている図でも、
  物体の下の面でも水圧は乗っている直方体部分の重さなので物体の密度を考慮しなければいけないと理解しました。
  
  みなさんの説明だと、物体が浮いている図でも、物体の中身は水と同じであると考えてらっしゃるような気がしてしょうがありません。
  
  どっかトリッキーな間違いをしているのでしょうか？
  
  根本的にひっかかっているのは、
  「水圧は乗っている直方体の重さ」なのでは？という点です。
  
  よろしくお願いします。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/25 16:09

• 詳細にありがとうございます。ですがまだひっかかっています（すいません何回も）
  
  ★疑問点１
  のせていただいた図でみていくと、
  上向きの緑の矢印に、＜（物体の上にある水＋物体【と同体積分の水】）の重さ分に相当する力で物体の上面を下に押す＞
  とありますが、「見た目だと」この矢印の上にあるのは水と物体なので、【と同体積分の水】は不要で
  ＜（物体の上にある水＋物体）の重さ分に相当する力で・・・＞ではないかと考えてしまうのです。
  参考書では、物体がない水だけの図解で、水圧はその箇所のより上の直方体の部分の水の重さとあったので、物体がある場合は、（物体の上にある水＋物体）の部分はその直方体では？と考えてしまう次第です。
  
  （字数オーバーするので分割します）

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/25 18:51

• （つづきです）
  
  ★疑問点２
  なお、＜これはパスカルの原理＞とありますが、パスカルの原理は高校物理ではやらないそうです。
  で、ググッてパスカルの原理を調べたところ、
  「〈密閉した容器のなかで静止している流体の一点の圧力をある大きさだけ増すと，流体内のすべての点の圧力はその大きさだけ増す〉という法則。」とありました。
  が、いまいちピンと来ず、この図でパスカルの原理がどうあてはまるのかがわかりません。
  
  以上２点。。。互いに関連しているかもしれませんが。。。が、ひっかかっている点です。
  
  なんども申し訳ありませんが、お教えいただければ幸いです。

    補足日時：2016/01/25 18:52

• ありがとうございます。皆様の回答で感覚的にはなんとなくわかったものの本質的に原理が理解できないので
  
  ＞いったん法則を受け入れて、原理の理解を保留するのも手ですよ。
  
  のようにしてみたいと思います。
  ありがとうございます。

  No.19の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/27 22:32

No.18 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/01/26 13:43

説明で②、③を間違えたので再

これを回答の最後とします。
作用反作用と力のつり合いがネックの様ですので、そこだけ再回答。

■多くの人が持つ疑問■
作用と反作用が同じなら、物体を空中で離したら、物体の重さ分が空気を下に押して、反作用で空気が物体を上に押すので、空中浮遊する事になるではないか。

■回答
（１）物体を空中に置いた場合

空気は抵抗が小さいので、物体が空気へ作用する力②は相当小さい。
作用反作用により②＝③
物体に掛る力は①、③。
①、③の合力により、物体は下へ動く

空気に掛る力は②
これにより、空気は少し収縮する。

（２）物体を地面に置いた場合

地面は重く抵抗が大きいため、物体が地面へ作用する力②は①とほぼ等しくなる。
作用反作用により②＝③
物体に掛る力は①、③。
①、③の合力により、物体はそこに留まる。

地面に掛る力は②
これにより、地面（つまり地球）は少し動く。
但し地面（地球）の質量が大きいのでF=ma により
加速度aはほぼ０。地球はほぼ動かない。

No.19 回答者： puyo3155 回答日時： 2016/01/27 20:24

アルキメデスの原理そのもの。

「流体中の物体は、その物体が押しのけている流体の重さ（重量）と同じ大きさで上向きの浮力を受ける」

よって、F= ρVg

水圧の差だから、感覚的にもわかると思うけど。原理をおうなら、解説に出ているような話。詳細に引っかるときは、いったん法則を受け入れて、原理の理解を保留するのも手ですよ。
正直、追加質問のやり取りを続けても、こだわりはとけないと感じます。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB …

No.17 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/01/26 13:37

これを回答の最後とします。

作用反作用と力のつり合いがネックの様ですので、そこだけ再回答。

■多くの人が持つ疑問■
作用と反作用が同じなら、物体を空中で離したら、物体の重さ分が空気を下に押して、反作用で空気が物体を上に押すので、空中浮遊する事になるではないか。

■回答
（１）物体を空中に置いた場合
物体に掛る力は①、③。
空気は抵抗が小さいので、物体が空気へ作用する力③は相当小さい。
作用反作用により②＝③
①、③の合力により、物体は下へ動く

空気に掛る力は②
これにより、空気は少し収縮する。

（２）物体を地面に置いた場合
物体に掛る力は①、③。
地面は重く抵抗が大きいため、物体が地面へ作用する力③は①とほぼ等しくなる。
作用反作用により②＝③
①、③の合力により、物体はそこに留まる。

地面に掛る力は②
これにより、地面（つまり地球）は少し動く。
但し地面（地球）の質量が大きいのでF=ma により
加速度aはほぼ０。地球はほぼ動かない。

No.16 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2016/01/26 13:25

質問者さんが考えてることはまあ正しいですが，正確さが足りません。

>上面を押す力＝ρSh'g
>下面を押す力＝ρS（h'+h）g

水深が変わると密度も変わるとすると、
上面の位置で働く水圧P1は

P1 = ∫[0->h'] ρ(x) g dx

下面の位置で働く水圧P2は

P2 = ∫[0->h'+h] ρ(x) g dx

でその差は

P2 - P1 = g∫[h'->h+h'] ρ(x) dx

∫[h'->h+h'] ρ(x) dxは断面積が1のときのh'とh'+hの間の流体の質量なので、考えてる物体の断面積をSとすれば，浮力は

f = (P2 - P1) S = g S∫[h'->h+h'] ρ(x) dx = Mg

密度変化は普通はさほど大きくないので、Mは平均密度<ρ>を使って

M = S∫[h'->h+h'] ρ(x) dx ～ <ρ> Sh = <ρ>V

としてもそう大きな誤差は生まない。
(密度差が大きいと平均密度の取り扱いが問題になる)

＞ρSh'g + ρ'Shgでなければならないのではないでしょうか？

密度が水深で変わるとすれば連続変化で上面と下面の位置での密度だけを変えればいいということにはならない。

No.15 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/26 09:36

うーん、質問者様の理論では、重力と浮力は常に釣り合っているということなので、物は決して水に沈まないし、空気中に物が置けます(^^;

もちろん現実にはこんなことは起きないのでどこかが間違っています。

もし、水槽に水が入っていて、水槽の断面と底面が同じ形をした
物体を水槽の上に落としぶたのようにのせたら、水漏れがなければ
質問者様のおっしゃっているように水圧が高まるでしょう。

では、物体が水槽より小さなものだったらどうなるかというと、
物体の下の水の水圧だけ、他の水圧より水圧が大きくなることは
ありません。同じ水深で水圧が異なれば、水は水圧が高い方から
低い方へわずかに移動し、水圧がならされてしまうからです。
これがパスカルの原理です。

水圧は大気圧と水自身の重みを支えます。水は大気圧と重力に
対して逃げ場はないからです。しかし、物体は「支えていません」。
物体は重ければ沈み、軽ければ上昇するだけだからです。

蛇足ですが、重力の反作用は物体が地球を引っ張る力です。
浮力と重力は作用反作用の関係にはないので一致している
必要はありません。

No.14 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/01/25 23:41

再登場です。

また図を使います。

大体言いたい事の趣旨が判りました。
水圧、作用反作用、力のつり合いの３点を正しく知れば良いです。

浮力は図１の通りで、水圧の差で生じます。

＜（物体の上にある水＋物体）の重さ分に相当する力で・・・＞ではないかと考えてしまうのです。

○水圧の観点から

前の図の緑上矢印は水圧です。水が物体（の底面）を上に押す力です。
水が押してるんですから物体の重さ（力）は入ってきません。

図2以降を見ると水圧が何故生じるか、解るとは思います。
図３の１個の分子が押す力は、パスカルの原理によって全方位均等に伝わります。
全方位なので上の分子へも伝播されます。

但し、下方向は、自分の重さが加わるので、少し大きくなります。
これが繰り返され、図４となります。

物体の下の水分子へもパスカルの原理によって均等に伝わります。

下へ行くほど、上向きの大きさが大きくなります。
この力（水圧）に物体の重さは登場しませんでした。

＜（物体の上にある水＋物体）の重さ分に相当する力で・・・＞ではないかと考えてしまうのです。

○作用反作用の観点から

（物体の上にある水＋物体）の重さ分に相当する力で水を下に押しています。
同時に反作用で、水が（物体の上にある水＋物体）を上に押しています。
力の向きは反対で大きさは同じ。これでバランスしています。

力のつり合いと混同してしまうのは、作用する部分。

力のつり合いは同じ作用点に作用する複数の力の振る舞い。

作用反作用は作用する力の作用点が違う。

ここも図を参照すると解ると思う。

で、これを整理すると、浮力は水圧差。
この差を計算すると質問の通りになります。
実際には微分・積分を使うのですが、水圧差は物体の体積と等しい水の重さに等しい。
これは定理なんです。これを証明するにはフォーラムの域を超えます。

No.13 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/01/25 23:39

#10のお礼に対して

>すいません、図がなかったので誤解を与えてしまったのですが、物体が全部水に覆われているときしか考えていませんでした。

この場合、水の密度≠直方体の密度　だったら直方体は浮くか沈むかしてしまいます。
つまり、直方体に働く力がつりあう必要はありません。(というよりも絶対につりあわない)
力の釣り合い自体が成り立たないのですから、質問者の示すような式自体作ることができません。

直方体が水の中で静止しているのであれば、水の密度=直方体の密度 となりますが、これはこれで質問者の考えと合致するので問題ありません。　

それと#12にある図について
これは間違いです。
5つの力が働いている、と描いてありますが、実際には3つです。
反作用として表現されている力は、実際には下面を押す水圧そのものです。直方体の下の面が水から受ける力は水圧以外にはありません。
また、物体に働く力を考える場合、物体から働きかける力を記載してはいけません。

No.12 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/01/25 17:59

力と重さがゴチャゴチャしてますか。

重さは重力が物体を下に引っ張る力を体重計などの計器で目に見える様にしたものです。
それを便宜的に「重さ」と言っています。
体重50kgと言いますが、正しくは50kg重。
力の単位にニュートンが有りますが、体重50kgの人は重力によって50*9.807ニュートンの力で引っ張られています。

>>根本的にひっかかっているのは、「水圧は乗っている直方体の重さ」なのでは？

水圧は物体の上に乗っている水の重さ（つまり力）の合力です。
上面はその水の重さ（力）で下へ押されている。

下面から上へは水の重さに物体の体積と等しい水の重さ（力）を足した力で押しています。
側面も場所場所で深さに応じた力で押されます。
これは上下方向の力ではないので考えなくても良い。

だから水深が深くなると水圧は大きくなります。

で、この上下方向の合力を計算すると、水深には関係なく丁度物体の体積に等しい水の重さ（力）分だけ、上への力になります。
これが浮力。緑の上矢印 - 下矢印。

下の図で解るかな？
５つの力が関与して浮かぶか沈むかが決まる・・・。
横方向の力は上下方向の力には関与しないから割愛

No.11 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/01/25 17:54

力と重さがゴチャゴチャしてますか。

重さは重力が物体を下に引っ張る力を体重計などの計器で目に見える様にしたものです。
それを便宜的に「重さ」と言っています。
体重50kgと言いますが、正しくは50kg重。
力の単位にニュートンが有りますが、体重50kgの人は重力によって50*9.807ニュートンの力で引っ張られています。

>>根本的にひっかかっているのは、「水圧は乗っている直方体の重さ」なのでは？

水圧は物体の上に乗っている水の重さ（つまり力）の合力です。
上面はその水の重さ（力）で下へ押されている。

下面から上へは水の重さに物体の体積と等しい水の重さ（力）を足した力で押しています。
側面も場所場所で深さに応じた力で押されます。

だから水深が深くなると水圧は大きくなります。

で、この上下方向の合力を計算すると、水深には関係なく丁度物体の体積に等しい水の重さ（力）分だけ、上への力になります。
これが浮力。緑の上矢印 - 下矢印。

側面からの力も有るが、上下方向の浮力には関与しない。
横からの力だから。


下の図で解るかな？
これ以外にも側面からの力が有るが、それは浮力とは関係ないから割愛。

No.10 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/01/25 16:53

#7の補足に対して

>「水圧は乗っている直方体の重さ」なのでは？という点です。

釣り合っている場合は
直方体の重さ=水圧×下面の面積
です。

ただ、質問者が間違っているのは
直方体の質量=直方体の密度×直方体の水面下の体積
としてしまっていることです。

直方体の質量=直方体の密度×直方体の体積
なのです。

"直方体の水面下の体積"と"直方体の体積"は異なります。
直方体は浮いているのですから、通常は一部が水面よりも上にあります。
この部分を無視しているから一致しなくて当然なのです。

直方体の密度>水の密度　の場合は、そもそも浮力と物体にかかる重力は釣り合いません。
浮かせるために外力がかかっているのであればその分を計算に入れる必要があります。

この回答へのお礼

>直方体は浮いているのですから、通常は一部が水面よりも上にあります。

すいません、図がなかったので誤解を与えてしまったのですが、物体が全部水に覆われているときしか考えていませんでした。
（一部が水面より上にある場合も当然あるなといま気づいたのですが、複雑になりそうなので、今回の件がわかってから考えることにしたいと思います。

その条件のもとで、＃１２様の図をもとに理解しようとしている次第です。。。

お礼日時：2016/01/25 18:28