複素数平面上での平行移動

初歩的な問題ですが、何か勘違いしているらしく、ご指導お願いいたします。

（問題）

複素数平面上で点P（ｚ）が単位円上を動くとき、次の複素数wの表す図形はどのようなものか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　w=iz-i

（解答）

w=i(z-1)
=(cos(π/2)+isin(π/2))(z-1)

これはzを実軸方向に-1平行移動し、π/2回転させた図形を描く。（図示省略）



解答文の中の「zを実軸方向に-1平行移動し」の部分で引っかかっています。
というのも、y=f(x)を(p,q)だけ平行移動すればy-q=f(x-p)となるので、これをw=f(z)と見ればw=i(z-1)というのは、実軸方向に１平行移動したものになるのでは、と考えたためです。
もちろん具体的に値を考えると違うのは明らかなのですが、ついy-q=f(x-p)を連想して正の方向に移動させてしまいそうです。
大きな勘違いをしているのだと思うのですが、関数の場合とは何が違うのでしょうか。
ご教授お願いいたします。

No.4 回答者： kangaeru2 回答日時： 2016/01/29 17:17

No.3です。

回答の途中で中座してしまいましたので、補足します。
複素数に虚数 i を掛けるごとに、π/2=90°ずつ回転すると習ったように思います。
年寄りなのでなかなか思い出せなくて、すみません。

No.3 回答者： kangaeru2 回答日時： 2016/01/29 16:33

z=x+iy=cosΘ+isiｎΘ.

x^2+y^2=1.
w=i(z-1)=icosΘ-siｎΘ-i=-sinΘ+icosΘ-i＝-cos(π/2-Θ)+i[sin(π/2-Θ)-1].
前半；(-sinΘ)^2+(cosΘ)^2=1 →円
-iとあるから、複素軸上-1移動している。
Θの向きを実軸→虚軸方向を正とする。
Θ＝０のときは、ｚ=1（実軸正）、w=0（原点）、Θ＝π/2のときは、ｚ=i、w=-1-i　wの座標は（-1,-1)、
Θ＝πのときは、z=1、w=-2i wの座標は（0,-2)、、・・・
すなわち、Θの向きは正で、ｗの回転はｚの回転よりπ/2進んでいる。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2016/01/29 15:53

>解答文の中の「zを実軸方向に-1平行移動し」の部分で引っかかっています。

というのも、y=f(x)を(p,q)だけ平行移動すればy-q=f(x-p)となるので、これをw=f(z)と見ればw=i(z-1)というのは、実軸方向に１平行移動したものになるのでは、と考えたためです。

非常によくわかります。z-1というのはガウス平面に於けるベクトルzにベクトル-1を加えたものと考えるとすっきりするでしょう。複素数の足し算、引き算はそう（ベクトルみたいに）考えるんだという話は複素数の話の最初に出てきたと思います。質問者の言われるグラフの平行移動の話とは逆方向になります。色々絵を書いてみると納得できます。
また掛け算は絶対値倍の偏角回し(回転の中心は原点）です。iの絶対値は1、偏角は９０°、よって複素数z-1を反時計方向に90度回したものとなります。これは複素数の一般論であって、zの軌跡に関係なく成り立つ話です。

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/01/29 14:15

y=f(x)　や　y-q=f(x-p)　を満たす点が (x,y) ですが、

w=f(z)　や　w=i(z-1)　を満たす点が (w,z) ではないからでは？
w　も　z　も点です。

w=iz-i　より
iz=w+i
z=(w+i)/i ･･････ ①

点Ｐ(z) は単位円上を動くから
|z|=1
①を代入して
|(w+i)/i|=1
|w+i|=|i|
|w+i|=1
点 ｗ の表す図形は、中心 －i，半径 1 の円を表す。
となるのでは？

質問にある解答では、
「点P（ｚ）が単位円上を動くとき」
という、条件を使っていませんが・・・