No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2) の問題は、
Σ[k=1, n-1]akΔbk=anbn-a1b1-Σ[k=1, n-1]bk+1Δak ・・・・・・①
が成り立つことを証明して、 (1つ目の問題)
ΣkSk=(Sn-1/2)p(n) ・・・・・・②
となる p(n) を求める問題です。 (2つ目の問題)
① を使って、②となる p(n) を求めるわけですが・・・
① と ② の左辺を見比べて
(ア) ak=kSk, Δbk=1
(イ) ak=1, Δbk=kSk
(ウ) ak=k, Δbk=Sk
(エ) ak=Sk, Δbk=k
などが考えられ、解答は、(エ)の場合で解答している。
(エ)で、
ak=Sk はいいけれど、 Δbk=k は、
Δck=ck+1-ck を利用すると
Δbk=bk+1-bk=k
となり、階差数列を考えると
bn=b1+Σ[k=1, n-1]k=b1+(1/2)(n-1)n
だから、
ak=Sk, bk=b1+(1/2)(k-1)k
とおくと、(になっている。)
Δak=ΔSk=Sk+1-Sk=1/(k+1), Δbk=k
だから、①を使って
ΣkSk=Snbn-S1b1-Σ[k=1, n-1]bk+1ΔSk
=Sn{b1+(1/2)(n-1)n}-S1b1-Σ[k=1, n-1]{b1+(1/2)(k+1)k}{1/(k+1)}
=Snb1+Sn(1/2)(n-1)n-S1b1-b1Σ[k=1, n-1]{1/(k+1)}-Σ[k=1, n-1]{(1/2)k}
=Snb1+Sn(1/2)(n-1)n-S1b1-b1{(Sn)-1}-(1/2)(1/2)(n-1)n
=Snb1+Sn(1/2)(n-1)n-S1b1-Snb1+b1-(1/2)(1/2)(n-1)n
={Sn-(1/2)}(1/2)(n-1)n-(S1-1)b1
S1=1 だから
={Sn-(1/2)}(1/2)(n-1)n
添付画像の解答は、 b1=0 で考えています。
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すみませんでした!
わからないのは、
・また、以降のaとbをどうしてこのようにSとkで表しているのか。
・だから、以降の式の処理
です。