証明がわかりません。「与えられた直線の垂線を、直線の外に与えられた点から引くことができる。」 という

証明がわかりません。「与えられた直線の垂線を、直線の外に与えられた点から引くことができる。」
というのを証明しないといけないのですが、
「与えられた点をAとし、与えられた直線に対してAとは反対側に点Bをとる。Aを中心とし、ABを半径とする円を作り、」
から続きを書き始めるようにということでした。
何回かトライしてみたのですが、どのように手をつければいいのか全くわかりません・・
解説お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： yuu1800 回答日時： 2016/04/27 00:18

No.3の者ですが訂正と解説を追記します。

三角形→△など記号では無いところは記号にしておいてください。

＜解説＞
　とりあえず垂線の作図と関連する問題なので、図1のように、中学校で習った作図と同じ様な図を書いてみて、各点に名前をつけます。「垂線が引けるか？」とは「ホントにこの作図で、∠AFCと∠AFDが90°になるのか？」を証明すればいい事がわかります。
そこで、もし∠AFCと∠AFDが等しければ、180÷2で90°になることを証明できそうです。

　∠AFCと∠AFDが等しいことを証明するには、図1の黄色の三角形と赤色の三角形の合同を使えばいいことがわかります。、円の半径が等しいのでAC=ADだし、AFが共通だから証明しやすそうです。

　さて、黄色と赤の図形でAC=AB、AF＝AFは簡単に言えそうです。あとひとつ条件があれば証明できそうです。そこで図2を見てください。AEが∠CADの二等分線になっている事がわかります。よって、∠AFC＝∠AFDといえます。
※△ACE≡△ADEの証明からでも証明できます。


これで、二辺とその間の角が等しいので合同が証明でき、∠AFC=90°も証明できます。
　
以上をまとめたものがNo.3の回答となりますが、割りと簡略しているので質問者様の方で学校で習っている表現にしておいてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます
わかりやすかったです

お礼日時：2016/04/27 11:30

No.3 回答者： yuu1800 回答日時： 2016/04/26 23:26

角の2等分線が証明済みと言う条件下ですが、

与えられた点をAとし、与えられた直線に対してAとは反対側に点Bをとる。Aを中心とし、ABを半径とする円を作り、ABと与えられた直線都の交点をそれぞれC,Dとする。また、点C,Dを中心とし半径Rの円をそれぞれ書き、その交点をEとする。直線AEと与えられた直線の交点をFとする。
　三角形AFCと三角形AFDにおいて
　仮定より　AC=AD
　共通だから　AF=AF
AEは角CADの2等分線だから　∠CAF=∠DAF
以上より　三角形AFC≡三角形AFD
ゆえに　∠AFC=∠AFD
直線の角度は180°なので、∠AFC=∠AFD=90°となる。
以上より、直線の外に与えられた任意の点Aから与えられた直線に垂線を引くことができる。

証明終

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/04/26 15:21

実際にやってみればいい。

その手順をそのまま回答として書けばよいのだ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/04/26 14:48

定規とコンパスだけでっていう, いわゆる「作図」の話かな?

そうだとして, あなたはそこから実際に垂線を作図することができますか? できるとしたらどのような手順で作図しますか?