中性子-陽子の弾性散乱

以下の問題の解き方を教えてください。

運動は全て非相対論的に扱えるものとし、中性子質量=陽子質量とする。
図のように、実験室系において静止した陽子と運動エネルギーTの中性子が弾性散乱する。陽子の反跳エネルギーEは重心系での散乱角θ*を用いて
E=(T/2)(1-cosθ*)
で表される。
散乱は重心系において等方的で、
dσ/dΩ*=一定
(σ:散乱断面積、Ω*:重心系での立体角)である。
陽子の反跳エネルギー分布dW/dEを求めよ。ただしdWは陽子の反跳エネルギーがEからE+dEの間にある確率を表す。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。
  
  重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*の間になる確率は
  dθ*/2π
  
  重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*である時に、陽子の反跳エネルギーがEからdEの間にあるとした時のdθ*とdEの関係は
  dθ*=2dE/Tsinθ*
  
  反跳エネルギーがEからE+dEの間にある確率は
  dW=dθ*/2π=(1/2π)2dE/Tsinθ*=dE/πTsinθ*
  よって
  dW/dE=1/πTsinθ*
  
  答えにθ*が入ってきてものすごく自信がないのですが、これで良いのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/14 13:03

• 

  なるほど、ありがとうございます。
  
  重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*の間になる確率は
  sinθ*dθ*/2
  となって、これを
  dθ*=2dE/Tsinθ*
  を使って変換したら、
  dW=sinθ*dθ*/2=(1/2π)2dE/Tsinθ*=dE/T
  になるため、
  dW/dE=1/T
  となりました。θ*が無くなってよかったです！
  Tにしか依存しないことに逆になんとなく違和感があるのですが、これで正しいでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/14 19:51

• 

  -π≤θ*<πだと思うのですが、積分をしているわけでもないのでこのθ*の範囲がdW/dEにどう影響するかわからないのですが、どうすれば良いでしょうか( ´×_×` )

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/15 15:05

• 

  ありがとうございます。
  -π≤θ*<πではないのですかΣ(￣Д￣ )
  グラフを描いてみたら確かにEの範囲は0≤E≤T/2でE>Tの散乱は起こらないことがわかったのですが、
  dW/dE=1/TだとなぜE>Tということになるのか、そしてdW/dEの求め方の何がいけなかったのか、よかったら教えてください。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/16 14:37

• 

  ありがとうございます。
  
  角度の定義にもよるかと思いますが、2本の鉛筆が区別できない場合は負にならない気がします。物理の世界では角度は正でなければいけないのですね。
  
  y=sin(x)でyが2から2+dyに変化した際のxの変化量はdxだと思うのですが、これはどういうことでしょうか？

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/16 23:15

• 

  ありがとうございます。
  
  確かに3次元では角度は負になりませんね。よくわかりました。
  
  y=sin(x)でyが2から2+dyに変化してもyの絶対値はそもそも1より大きくなり得ないのでxの変化量やxがいくらからいくらに変化したかはわかりませんね。すいません。
  しかしdW/dE=1/Tまでの計算のどこが違っていたのかわかりそうでわからないのですが、
  0≤E≤T/2なのにも関わらずそれ以外の範囲のEを考慮してしまっているために間違っているということなのでしょうか？

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/17 20:52

• 

  ありがとうございます。改めて
  「重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*である時に、陽子の反跳エネルギーがEからdEの間にあるとした時のdθ*とdEの関係を
  >E=(T/2)(1-cosθ*)
  を使って求める。」
  のやり方がわからないので、よかったら教えていただけますか。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/21 15:07

No.8 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2016/08/25 20:21

求め方と言われてもご自身でも計算されたように微分するだけなので計算方法について付け加える事は何もないかと思います。

何を混乱されているのか理解できていないのですが、
別の言い方をすると、
反跳エネルギーがEからE+dEの間にあるためにはθ*がどの範囲にないといけないかという事を考えているわけですよね。

Eが0からTの間であれば、対応するθ*が存在するので、ご自身で計算された方法でdθ*が求まるのですが、

Eが負だったり、Tより大きかったりすると、「どのようなθ*でもEからE+dEの範囲には来ない」という答えになるというだけの話なのですよ。

この回答へのお礼

あ、すべてつながりました！理解できました。
色々とありがとうございました！

お礼日時：2016/08/25 22:09

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2016/08/20 17:16

＞0≤E≤T/2なのにも関わらずそれ以外の範囲のEを考慮してしまっているために間違っているということなのでしょうか？

Eの範囲は正しくないですが、要はそういう事です。

＞E=(T/2)(1-cosθ*)
この式を微分して導出している以上、この式が成り立ってなくなるようなEでは導出した式は使えないのですよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/08/21 15:00

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2016/08/17 20:17

>角度の定義にもよるかと思いますが、2本の鉛筆が区別できない場合は負にならない気がします。

物理の世界では角度は正でなければいけないのですね。

別に時計の長針と短針のように区別できる場合で差し支えありませんし、そもそも今は散乱前と散乱後の速度ベクトルという区別できるものが念頭にあります。また物理の世界というよりも３次元空間の場合の話です。(２次元であれば確かに-180°から180°の範囲で角度を定義できます)

例えば３時の針の配置を+90°で9時の針の配置を-90°という事にしたとしましょう。
今、長針と短針を３時の配置(90°)にしたとします。針のなす角度を固定したまま、長針を軸に180°回転させると、９時の配置(-90°)に変わります。針のなす角度は固定していたはずなのに、長針と短針のなす角度はいつ-90°に変わったのでしょうか？

>y=sin(x)でyが2から2+dyに変化した際のxの変化量はdxだと思うのですが、これはどういうことでしょうか？
xはいくらからいくらに変化したしたとお考えなのでしょうか？

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2016/08/16 20:14

>-π≤θ*<πではないのですかΣ(￣Д￣ )

θ*って要は、(重心系での)散乱前の陽子の速度ベクトルと、散乱後の陽子の速度ベクトルのなす角度ですよね。
２つの３次元ベクトルのなす角度が負になる場合がどういう場合でしょうか？
例えば２本の鉛筆を用意して、その２本の鉛筆の根元をくっつけて鉛筆のなす角度が負になるようにできるか考えてみるといいと思います。


例えばy=sin(x)の時、xの変化量dxとyの変化量dxの間には、dy=cos(x)dxという関係がありますよね。
では、yが2から2+dyに変化した際のxの変化量も、この式から求める事ができるかどうかは分かりますか？

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2016/08/16 00:01

すいません、θ*の範囲ではなくEの範囲ですね。

>E=(T/2)(1-cosθ*)
のグラフでも実際に書いてみれば、
>dθ*=2dE/Tsinθ*
これが成り立つようなEの範囲が分かるはずです。


ちなみに、
>-π≤θ*<πだと思うのですが、
これは正しくないですよ。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2016/08/14 22:18

>dW/dE=1/T

E>Tであるような散乱はエネルギー保存則を満たさないので起こりません。θ*がどういう範囲をとるのか注意してみてください。

この回答へのお礼

ご返信ありがとうございます。

お礼日時：2016/08/15 15:06

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/08/14 18:23

>重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*の間になる確率は

dθ*/2π

違います。

これは2次元ではなく3次元で考えないといけません。
つまり、θ*～θ*+dθ*の範囲の立体角を求める必要があります。
半径1の球体でz軸からθ*～θ*+dθ*の範囲にある表面の面積を求めてみるとよいでしょう。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2016/08/14 03:15

>dσ/dΩ*=一定

を使って、重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*の間になる確率を求める

重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*である時に、陽子の反跳エネルギーがEからdEの間にあるとした時のdθ*とdEの関係を
>E=(T/2)(1-cosθ*)
を使って求める。

反跳エネルギーがEからE+dEの間にある確率dWを求める

という流れになるかと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*の間になる確率は
dθ*/2π

重心系での散乱角がθ*からθ*+dθ*である時に、陽子の反跳エネルギーがEからdEの間にあるとした時のdθ*とdEの関係は
dθ*=2dE/Tsinθ*

反跳エネルギーがEからE+dEの間にある確率は
dW=dθ*/2π=(1/2π)2dE/Tsinθ*=dE/πTsinθ*
よって
dW/dE=1/πTsinθ*

答えにθ*が入ってきてものすごく自信がないのですが、これで良いのでしょうか？

お礼日時：2016/08/14 13:03