９で割った小数点の数字と、剰余が一致します。なぜ？

９で割った小数点の数字と、剰余が一致します。
どなたか証明していただけませんか？


１０÷９＝1.1111… 10 ÷ 9 = 1...1
１１÷９＝1.2222… 11 ÷ 9 = 1...2
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：
２５÷９＝2.7777… 25 ÷ 9 = 2...7

104581÷９＝11620.111… 104581÷９＝11620...1

No.1 ベストアンサー 回答者： kmee 回答日時： 2016/08/21 00:38

整数 n を 9で割ったときの商をm,余りをr とすると

n = 9 × m + r
となります。ここで、mは整数、r は 0≦r<9 となる整数です。
※ 商と余りを使う問題では、このような関係式を使うのが常套手段です。

10 = 9 × 1 + 1
11 = 9 × 1 + 2
25 = 9 × 2 + 7
104581 = 9 × 11620 + 1


n = 9 × m + r
の両辺を 9 で割っても、等式の関係は変わりません。
n ÷ 9 = (9 × m + r) ÷ 9
n ÷ 9 = 9 × m ÷ 9 + r ÷ 9
n ÷ 9 = m + (r/9)

前述の通り、 m は整数です。
また、 0≦r<9 より 0≦(r/9)<1 であるから、 rの整数部は0です。


ここまで書けば、もうわかりますね?

この回答へのお礼

「rの整数部は0」は「（ｒ/9）の整数部は０」でいいですか？

m+(r/9)とは、mが整数ですから除算の小数部分は(r/9)であると。
例えば 25÷9=2.7777…の 2はm , .77777は r/9であると。

剰余のrは0～8の値をとる→9パターンのみ

すべての場合をチェックしてみると

0/9=0.0
1/9=0.111111…
2/9=0.222222…
3/9=0.333333…
4/9=0.444444…
5/9=0.555555…
6/9=0.666666…
7/9=0.777777…
8/9=0.888888…

となり剰余のrと小数部の値は一致している
ということでいいのでしょうか？
9パターンを全部チェックするのはすこし冗長な気がします。もっとエレガントな証明方法がある気がしますが、
私は納得できました。

割る数が９でなく、他の一ケタの整数αでもn÷α=m+(r/α)が成り立つと思いますが、小数部と剰余が一致するのは９だけですね。
９は不思議な数だと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/08/21 19:40