三角形ABCの外接円の中心をO、半径をR三角形ABCの内接円の中心をI、半径をr AB＝7.BC＝8

三角形ABCの外接円の中心をO、半径をR三角形ABCの内接円の中心をI、半径をr
AB＝7.BC＝8.CA＝6
辺BCの中点をＮ
ONの長さ

質問者からの補足コメント

• 求めた範囲です。
  cosA＝１/4
  sinA＝√15/4
  R＝16√15/15
  r＝√15/2

    補足日時：2016/08/28 01:47

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/29 13:30

この手の問題は、#1さんのとおり、まず「図を描く」ことから始めましょう。

適当に描いた図が下記です。

まずは、余弦定理から
　BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cosA
各々の辺の長さを入れて
　8^2 = 7^2 + 6^3 - 2*7*6*cosA
よって
　cosA = 1/4

次に、図にあるように、辺A'Bが直径になるように三角形A'BCを書くと、三角形A'BCは直角三角形で、辺BCに対する円周角であることから
　∠A = ∠A'
なので
　cosA = cosA' = A'C/2R
であり、これが 1/4 なので
　A'C/2R = 1/4
より
　A'C = R/2

さらに図を見れば分かるとおり、△BON と△BA'C とは相似であり、BO:BA' = 1:2 であることから
　ON = (1/2)A'C = R/4
であることが分かります。

あとは、△BON は直角三角形なので
　BO^2 = BN^2 + ON^2
より
　R^2 = (R/4)^2 + 4^2
なので
　(1 - 1/16)R^2 = 16
　(15/16)R^2 = 16
　R^2 = 16^2/15
よって
　R = 16 / √15

これより
　ON = 4 / √15 = 4√15 /15

この範囲までであれば、内心は全く使いません。

No.1 回答者： k_k_0721 回答日時： 2016/08/28 01:43

まずは絵を描いてみようか

この回答へのお礼

追加で求めれた範囲を付け加えました。

お礼日時：2016/08/28 01:48