sin(x + y) = sin x + sin y の軌跡

0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π のときの　sin(x + y) = sin x + sin y　の軌跡はどう求めれば良いでしょうか？

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2017/05/03 14:09

「軌跡」とお書きですが、これを「sin(x + y) = sin x + sin yという方程式を満たす解(x,y)の集合」と「変域(0 ≤ x ≤ 2π かつ 0 ≤ y ≤ 2π) に入る(x,y)の集合」の共通部分だと捉えるのが第一のポイントです。

それはさておき、

　変数変換（座標変換）
　　X = (x+y)/2
　　Y = (x-y)/2
はいろんな所で使える常套手段です。これをx,yについて解けば
　　x = X+Y
　　y = X-Y
ということになるんで、ご質問の方程式は
　　sin(2X) = sin(X+Y)+sin(X-Y)
と書ける。加法定理を使って
　　2sinX cosX = (sinX cosY + cosX sinY) + (sin X cosY - cosX sinY)
としてから整理しますと、sinX≠0の場合には
　　cosX = cosY　　（sinX≠0のとき）
となる。

　ですがまず、sinX=0の場合を検討しておきましょう。
　sinX=0ってことはX=nπ (nは整数)であり、従ってsin(x+y) = sin(2X)=0 ですから、ご質問の問題は
　　x + y = 2nπ (nは整数)
　　sin x + sin y = 0
という連立方程式になります。ですが、最初の式
　　x + y = 2nπ (nは整数)
が満たされれば
　　sin y = sin(2nπ-x) = sin(-x) = -sin x
だから二つ目の式は必ず満たされます。なので、解は結局
　　{(x.y) | x + y = 2nπ (nは整数) }
という平行な直線たちです。しかしこのうち、ご質問に書かれた変域の部分に入るのは
　　(x,y)=(0,0), (x,y)=(2π,2π)
の2点と、直線
　{(x,y) | x + y = 2π}
だけです。

　sinX≠0の場合。
　　cosX = cosY　　（sinX≠0のとき）
ということはつまり
　　{(X,Y) | X≠nπ かつ |Y| = |X + 2mπ| (n,mは整数)}
である。変域の心配は後ですることにして、X,Yの直交座標系でグラフを描いてみると、45°斜めになった無限に連なる格子模様が現れます。（ただし、X=nπのところは除外されます。）次に、このグラフに
　　x = X+Y
　　y = X-Y
という変換をする訳ですが、これは座標系を原点を中心に45°回転して、さらに両方の軸を√2倍するってことに他なりません。
　まず回転だけやってみると、
　　p = (X+Y)/√2
　　q = (X-Y)/√2
としたことになるわけですが、これでグラフはp軸に平行な間隔(√2)πの線と、q軸に平行な間隔(√2)πの線でできた格子になる。それからp軸q軸の目盛りをそれぞれ√2倍に読み替える、すなわち
　　x = (√2)p
　　y = (√2)q
とやれば、x,y平面における平行線の間隔は2πになります。で、このグラフから、ご質問に書かれた変域の部分だけを取り出す。

　最後に、sinX = 0の場合の解である斜めの直線および2点を書き加えて出来上がりです。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/04/30 20:39

方針としては

右辺を和→積の公式で変形、左辺はx+y=2*{(x+y)/2}とみて倍角の公式で変形すると両辺から共通の因子が出てきますので移項すると因数分解できるでしょう。


#1の方
>0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π のとき
sin x + sin y≧sin(x + y)が成り立つ

成り立ちません。
反例　x=y=7π/6

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/04/30 18:03

横からすいません。

No1さん
＞　＝が成り立つのは、（x=0又はy=0）又はx=y=2π
y= 2π-x のときも成り立つのでは？

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/30 15:40

0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π のとき

sin x + sin y≧sin(x + y)が成り立つ(証明は自分で行なう様に)

＝が成り立つのは、（x=0又はy=0）又はx=y=2π

敢えて図を書けば以下。