No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ロピタルの定理を使っていいなら、
lim[x→∞] {log(1+x)}/x
=lim[x→∞] {1/(1+x)} / 1
=lim[x→∞] 1/(1+x)
=0
使ってはダメなら、ちょっと面倒ですが以下のやり方。
まず、lim[t→∞] { t / (e^t-1) } = 0は明らか、とします(※)。
で、e^t-1 = xとおくと、t→∞というのはx→∞ということ。
t=log(1+x)なので、lim[x→∞]{log(1+x)/x} = lim[t→∞] { t / (e^t-1) } = 0となります。
※:tとe^tの比較なので自明でしょうが、証明せよということなら、証明は容易です。
No.4
- 回答日時:
高校生ですか。
どう解けばいいかって、習った通りに解けばいいんでしょう・・・過去に習得した知識が、次に向かう問題の、武器や道具になって使えないと
正に、数学は解き方を覚える暗記科目になってしまいます。
知識にはなりにくいと思います。式を鑑賞する境地にたどり着くといいですね。
質問します。
高校のとき lim[n→∞](1+1/n)^n=e・・・①または lim[n→0](1+0)^(1/n)=e となることを(定義?このnは自然数でしたが章末で、実数に拡張されているかと思います。)
として学ばれたでしょうか。または理解したでしょうか。
だから lim[x→∞]log(1+x)/x を質問するのではなくて、 lim[n→∞](1+1/n)^n=e を質問してほしく思います。(この証明は大学レベル)
本題に戻ります。
lim[x→∞]log(1+x)/x=lim[x→∞](1/x)log(1+x)
=lim[x→∞]log{(1+x)^(1/x)} ①より
= log(e)=1
No.3
- 回答日時:
f(x)=√(x)-log(x+1)
f'(x)=1/(2√(x))-1/(x+1)=(√(x)-1)^2/((x+1)(2√(x)))
よって0<xで0<f'(x)であるからf(x)は0≦xで単調増加
よって0<xでf(0)=0<f(x)
よって0<xで0<log(x+1)<√(x)
よって0<xで0<log(x+1)/x<1/√(x)
よってx→∞でlog(x+1)/x→0
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 計算機科学 極限値の問題 2 2022/07/19 22:41
- 数学 数学の極限問題 4 2023/05/18 15:50
- 数学 n乗はどうなったのでしょうか 1 2023/01/31 19:26
- 数学 lim[n→∞] n! {1-log(Σ[k=0→n]1/k!)} はどうやって求めるのでしょうか? 5 2022/03/26 10:41
- 数学 極限値とロピタルの定理 3 2023/07/26 12:18
- 数学 入れ替えるだけでいいのでしょうか。 4 2022/04/30 16:57
- 数学 対数関数のグラフ y=log(2)2(x+1)のグラフを書け 模範解答は「1+log(2)(x+1) 2 2023/07/08 01:51
- 数学 ①lim x→∞で1/xだった場合は発散しないため限りなく0に近い解が求められるのでしょうか? 例え 7 2022/05/16 19:27
- 数学 ガチ急ぎです!【大学数学】【解析】 有界な数列{a_n}について、k>0として ①lim sup k 1 2022/11/25 07:45
- 数学 解析学 質問です。 lim a_n=α(n→∞)のとき有界な数列{b_n}について lim (a_n 2 2022/11/25 07:47
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
外出時に「待たせる妻」vs イライラする「待つ夫」は日本だけ?見習いたい海外事情
夫の家事参加に積極的なイメージのある海外でも、同様の事例はあるのか。結婚カウンセラーの佐竹悦子さんに伺ってみた。
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
logx/xの極限でロピタルはダメ??
数学
-
-
4
e^-2xの積分
数学
-
5
数学の関数極限の問題を教えてください。 lim x→∞ (1+2/x)^x の答えがe^2(x=2t
数学
-
6
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
数学
-
7
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
8
数学の極限の問題です! (1)limx→0(1+x+x^2)^1/x (2)limx→0(3^x -
数学
-
9
f(x)=logx/x (x>0) の極限の求め方について x→+∞のときf(x)→+0となるのは、
数学
-
10
e^(-x^2)の積分
数学
-
11
不定積分∫log(1+x)/x dxが分かりません
数学
-
12
極限 証明
数学
-
13
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
数学
-
14
y=x^(1/x) の 微分
数学
-
15
シグマの問題なのですが。
数学
-
16
[(e^x)/(e^x+e^-x)]の積分
数学
-
17
lim[x→0](e^x - e^-x)/x
数学
-
18
lim[x→0]x/1log{log(x+e)} が解けません。教えてください! 答えe/1
数学
-
19
数学 極限値
数学
-
20
極限の問題
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
y=x^x^xを微分すると何になりま...
-
自然対数をとる?とは・・・
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
e^x=2のときのxの求め方
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
教えてください、分かりません
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
関数電卓のlogについて
-
256は2の何乗かを求める式
-
log2の5は?
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
lnをlogに変換するには・・
-
lnという式について
-
なぜxがe^logxと変形できるので...
-
数学 極限値
-
100!は何桁か。
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
log2,5の値
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
y=x^2logxのグラフの増減ってど...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
e^x=2のときのxの求め方
-
自然対数をとる?とは・・・
-
256は2の何乗かを求める式
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
log2の5は?
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
関数電卓の使い方
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
lnをlogに変換するには・・
-
eの指数の計算がわかりません。
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
関数電卓のlogについて
-
ln5はいくつ?
-
微分方程式dy/dx=1-y^2を解け。...
-
数学の関数についての質問です...
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
超初歩的質問ですが・・
-
log3^1はなんで0になるんですか?
おすすめ情報
すいませんlim[x→∞]log(1+x)×1/x