シリウス連星の質量の和

Question

シリウスＡと伴星のシリウスＢは５０年の周期で回っていて、その距離は２４天文単位であると言われています。ケプラーの第三法則によると連星の質量の和は回転半径の３乗に比例し、公転周期の２乗に反比例することになっています。この比例関係に基づき、地球と太陽の値（この時、地球の質量は無視できるので、質量の和は「太陽の質量」、そして公転周期は「１年」）の比で、シリウス連星の質量の和を計算すると［２４の３乗］／［５０の２乗］＝太陽の質量の約５．５倍となります。しかし、事典等で調べてみると、シリウスＡとシリウスＢの質量はそれぞれ太陽の２倍と１倍程度で、合わせても太陽の質量の３倍そこそこです。
　この質量の矛盾は、私の計算（というか、考え方そのもの）が間違えているからなのでしょうか？　だとすれば何処で致命的な誤りを犯しているのでしょうか？　誰か教えていただけれないでしょうか？　おねがいいたします。

Teleskope · Accepted Answer

１．
　No2です、サイトを紹介しておきます。　朝ちょっと検索したんですが、日本のサイトは数行の昔話しか無く、計算が見あたらないのでガッカリしました。　No4のサイトを見て「おお！しっかりあるではないか！」と嬉しくなりましたが よく見たら台湾のサイトだったんですね。。
そこの元ネタらしい（かな?）のを紹介します。　アメリカの国立電波天文台の教育サイト（ http://www.aoc.nrao.edu/ ）の、宿題の回答ページ
http://www.aoc.nrao.edu/~smyers/courses/astro12/solution1.html
http://www.aoc.nrao.edu/~smyers/courses/astro12/solution2.html
です。
下記目次ページの 「ホームワークのセット1と2」 が出題で、その下にある 「回答」 が上記のページです。
http://www.aoc.nrao.edu/~smyers/courses/astro12/lecnotes.html



２．
　下記ページに 実際の図があります、主星と伴星はクネクネと移動して見えます。
http://members.optushome.com.au/jeross/astro/sirius/
クネクネが４回くりかえされてます。ひとくねり50年ですから、図は200年以上に相当します。（この動きに気付いたのは160年前です。）
図に目盛りがあるので「見た目では最大何度離れてるのか」がほぼ読みとれますね。

この観測データをもとに、
「共通重心の動きは直線運動であるはず、それは二者の中間で直線上にあるはず。」　という運動の基本原理を根拠に、直線と二つの楕円に分離します。二つの楕円軌道は同じ平面上のはずです。
　で、その軌道平面は 地球の方向と角度がどうなってるか。　
例えば；偶然に真円に見えたとします、しかし真円なら回転スピードは一定ですが、楕円なら遠い所では遅く近いところでは速い、これは観測で見分けが付きます。軌道面が斜めなら 地球に近付いたり遠ざかったりします、これは光のドップラー効果を観測すれば分かります。速度変化が詳しく観測できれば それだけから面の角度と楕円の形状が分かってしまいます。長半径はこれらに裏付けされた値です。

参考URL：http://www.aoc.nrao.edu/~smyers/courses/astro12/solution1.html,http://www.aoc.nrao.edu/~smyers/courses/astro12/solution2

Teleskope · Answer

　

　
>> 金属過剰な恒星とはどのような進化ステージなのでしょうか？ <<

　「このサイズの星の核反応ではそんなに鉄まで行かないはず」これはまだ解明されてない、今後の楽しみでしょう。

　過去には、
（再掲Ａ）http://www.geocities.co.jp/Athlete/2383/hanasi/s …
の連星ストーリーで B星の核反応生成物をA星が吸った名残だとか説明されましたが、観測が進歩して詳しく分かったB星の諸元（質量、径、スペクトル）から、シミュレーションで過去に遡った赤色巨星の大きさが下記に HR図上で示されてます。初期は約 3R◎ だったのが約 50R◎ に脹らんでます。天文解説サイトにはよく「赤色巨星は数百倍～千倍」と書かれてますが、6M◎ 程度ではこの程度なんでしょうね。
（再掲Ｂ）http://www.osk.3web.ne.jp/~asterope/sirian7.html

　この 50R◎ のときの質量を 6M◎ のままと仮定して、A星（2M◎）とのロッシュ限界を
　　勢力半径 ≒ 2.4554×星の半径×(星の質量/相手星の質量)^1/3
で見積もってみると、最短のときの 5.6AU でもダメですよね。ですから、

>> ロッシュローブの件はアルゴルのような近接した連星に置いてのみ問題とされるものであり、シリウスのように離れた連星では考えなくてよいものと思っておりましたが <<

　とおっしゃる通りなんです、上記再掲Ａの図はシリウス系では起きてなかった。
ではどれほどの量をA星が獲得したか。それは前回の「地球にこれだけ」の計算と同様の見積もりを（A星の径を 1.711R◎と仮定）すると、およそ地球0.3個分の質量となります。これが、黄色地の英文サイトの仮定「A星は最初から今程度の大きさだった」や上記再掲B の「A星はずっと主系列上に居た。そこでの進化速度は億年単位なので数千万年程度では A星はほとんんど進化してない」と対応します。

　話が長くなりましたが要するに A星の特異な鉄分は B星由来では説明しきれない。
　さらに、連星でないものや一家族の星団中に普通の星と金属星が混在してる、などが続々と発見され「最初から金属分が濃いガスから出来た星では？」という仮説も脚下に。いまのところ原因不明です。

　定型めきますが、過去にも「シリウスは小さい方が進化してる、特別な核反応があるのでは？」という謎が、赤色巨星という新概念によって「昔は小さい方が大きかった」という平凡な説明に帰したのと同様の進展があるのかも知れません。
　
　

Teleskope · Answer

　

　
１．
>>　Ｂ星が太陽６個分の質量を失った結果、ＡとＢは5.6AUの振幅で振動しあっている可能性が <<

　ここも同じケプラーの式を使ってます。公転周期は昔から変わってないと仮定してます。（角運動量保存、失う原因が見あたらないから。）

　　当初の全質量 M1 = 9◎　　◎は太陽の質量
　　現在の全質量 M2 = 3◎

当初の軌道半径を a1、現在を a2 とするとケプラーの式は、
　　a1^3/T^2 = M1　当初
　　a2^3/T^2 = M2　現在
上と下の比は
　　a1^3/a2^3 = M1/M2
より、
　　a1 = a2×(M1/M2)^1/3
数値を入れると
　　a1 = 19.77AU×3^1/3 ≒ 13.77AU

当初の軌道はこの程度であったのだろう、と言うことです。

２．
　A星もB星も軌道は楕円ですが、片方を基準に相手を見るとやはり単純な楕円軌道なのです。（すごく難しく感じるかも知れませんが意外に簡単な位置ベクトルの合成の問題です。）
サイトには「その楕円の離心率は e = 0.59 」と書いてありますね。離心率は楕円のつぶれ具合の数値です。離心率も今と同じと仮定してます。変化する理由がないので。
（赤色巨星になったB星からガスが運動量を持ち去りますが、それはB星の自転の運動量だけです。一様に広がるので公転には影響しません。）

３．
　下図を軌道の楕円だと見なしてください。長半径とは a のことです。

　　　　　　　　*　　　 *
　　　　 *　　　　　　　　　　　*
　　 *　　　　　　　　　　　　　 *
　─*──・──┼──・──*─
　　 *　　-f　　　O　　 +f　　 *
　　　　 *　　　　　　　　　　　*　
　　　　　　　　*　　　 *　　　　　焦点 f = a×離心率e

　　 ←──ａ─→←─ａ──→
　　　　　長半径　　　長半径

　二星は下図のように近付いたり離れたりします。一回り50年。

もっとも遠いとき。
　　　　　　　　*　　　 *
　　　　 *　　　　　　　　　　　*
　　 *　　　　　　　　　　　　　 *
　　 *　　 ○　　　　　　　　　　●
　　 *　　 ←──────→　距離 = a+f = a(1+e)
　　　　 *　　　　　　　　　　　*
　　　　　　　　*　　　 *

もっとも近いとき。
　　　　　　　　*　　　 *
　　　　 *　　　　　　　　　　　*
　　 *　　　　　　　　　　　　　 *
　　●　　○　　　　　　　　　　 *
　　 ←─→　距離 = a-f = a(1-e)
　　　　 *　　　　　　　　　　　*
　　　　　　　　*　　　 *

もっとも近いとき、
　　距離 = a(1-e) = 13.77AU×0.41
　　 ≒ 5.6AU
の近さであったのだろう、ということです。

　あのサイトは、この分野の計算に精通してる人が独り言のように書いてあるのでいきなり読んでも意味不明だったと思います。

４．
　サイトを2つ。
こちらは「A星は太った」とあります。よくある図ですね。
http://www.geocities.co.jp/Athlete/2383/hanasi/s …
こちらは「A星はずっと主系列に居ました」とあります。
http://www.osk.3web.ne.jp/~asterope/sirian7.html
ロッシュ限界の式は、
　　勢力半径 ≒ 2.4554×星の半径×(星の質量/相手星の質量)^1/3
です、重なってるのか最も近い 5.6AU の場合で確かめてみましょう。

　前回紹介のサイトにA星の半径がありますが、5.6AU は木星と太陽ほどの距離です、B星から見たA星の大きさは地球から見た太陽ほどもあったのでしょうか。

５．
>>　B星の、太陽６個分の質量放散（緩やかな爆発？）の地球への影響はいかほど？たった8.6光年しか離れていない・・・　 <<

　全量が四方八方に等しく広がったとしましょう、太陽の質量は 1.99×10^30kgです、半径8.6光年の球の表面で 1平方メートルにぶつかる量は、
　　太陽6個 ÷ 半径8.6光年の球の表面
　　 = 6×1.99×10^30 ÷ (4π×(8.6×9.461×10^15)^2)
　　 = 0.14 g/m^2
底面積が1メートル平方で高さが地上から大気圏の端までの大気に対して 0.14グラム。（太陽や地球重力での掻き集め効果は無視してますが。）
ほとんどがH2やHe。
　現在のシリウスよりずっと明るい赤色巨星からガスの輪が広がるのが肉眼でも見えた大天文ショーだったでしょうね。
　
　
　

Teleskope · Answer

No5；
URLが長すぎたのか肝心の二つ目のが駄目です、文中からコピペしてください。

meineko · Answer

計算は、あっているとお思います。
だとするとと、距離か質量かどちらかが違っていないでしょうか？

No.2の方が書かれているように、20AUだという文章を見つけました。

参考URL：http://chunjiao.astro.ncu.edu.tw/~daisuke/ja/Research/Astronomy/Practice/Binary/c20020813/

nakaizu · Answer

回転半径の求め方が違っているのではないでしょうか。
質量比が2：1で間の距離が24AUだとすると、シリウスAから８AU、シリウスBから16AUの点を中心に回っています。
また、楕円軌道だとすると現在の距離だけから軌道の長半径をもとめるのは無理です。
ケプラーの法則は二つの天体の質量に大差があるときに成り立つもので、質量が近いときには修正する必要があるのではないでしょうか。

Teleskope · Answer

時間があれなので記憶で書きます、シリウスは20AU、50年ではありませんでした？

tosiki · Answer

連星の定義ですが、お互いが引き付けあい、お互いに回転する連星の事を指していると考えます。

シリウスBは、金星（惑星）の定義に近くなります。

シリウス連星の質量の和

計算は、あっているとお思います。

回転半径の求め方が違っているのではないでしょうか。

連星の定義ですが、お互いが引き付けあい、お互いに回転する連星の事を指していると考えます。

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