この問題のやり方がわかりません。どうやると最大最小は求められますか。 わかる方がいたら教えて下さい。

この問題のやり方がわかりません。どうやると最大最小は求められますか。
わかる方がいたら教えて下さい。

No.3 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/10/07 16:00

f(x)＝(sinx)^2+2sinx･cosｘ+3(cosx)^2

　･2sinx･cosx=sin2x　倍角の公式
　･(sinx)^2+(cosx)^2=1　基本の公式　をそれぞれ使う
f(x)＝(sinx)^2+sin2x+3(1-(sinx)^2)
＝(sinx)^2+sin2x+3-3(sinx)^2
＝-2(sinx)^2+sin2x+3
　･(sinx)^2=(1-cos2x)/2
=-(1-cos2x)+sin2x+3
=2+sin2x+cos2x　③
　･a･sinx+b･cosx=√(a^2+b^2)･sin(x+α)
　　ただしsinα=b/√(a^2+b^2)　cosα=a/√(a^2+b^2)　三角関数の合成の公式を使う
sinα=1/√2　cosα=1/√2　
α=π/4
③は
f(x)=2+√2sin(x+π/4)
0≦x≦2πとすると、sin(x+π/4)の最大値は1、最小値は-1となるので
答え　f(x)の　最大値＝2+√2　最小値=2-√2

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/10/07 15:51

ものすごく見にくいけど、f(x)=sin^2(x)+2sin(x)cos(x)+3cos^2(x)なのかな？

また、そもそもxの変域が書かれていないけど、0≦x<2πでいいのかな？

まず、1行目から2行目に行くところで間違っている。
1行目の第2項の2sinxcosxが、2行目では2sinxになってしまっている。

正しくは、
f(x)=sin^2(x)+2sin(x)cos(x)+3cos^2(x)
=1-cos^2(x)+sin(2x)+3cos^2(x)
=sin(2x)+2cos^2(x)+1
=sin(2x)+1+cos(2x)+1　←　∵cos^2(x)={1+cos(2x)}/2
=sin(2x)+cos(2x)+2
=√2 sin(2x+π/4)+2

よって、最大値は√2+2 (x=π/8のとき)、最小値は-√2+2(x=5π/8のとき)

No.1 回答者： banzaiA 回答日時： 2017/10/07 15:38

最大値は求まったのですね。

Sin ｘ＝X　とおいたので
∴　-1 ≦ X ≦ 1
f(X)=-2(x-1/2)²+7/2 に　X=-1　を代入して、最小値でしょう。
（またはX=-1を代入して最小値をどちらか判断するのでしょうが、x=1/2 （グラフの軸）よりX=-1の方が遠い）