エクセルで、多項式曲線の近似をしたいのですが、どうしたらよいかわかりません。
exel2000のヘルプで、
"TREND 関数を利用すると、同じ変数を底とするべき乗を使った多項式曲線による近似計算を行うこともできます。たとえば、A 列に y の値が入力されていて、B 列に x の値が入力されている場合、C 列には x2 の値、D 列には x3 の値を入力し (以下同様)、B 列から D 列 (以下同様) の値を使って、A 列の y の値を近似計算できます。"
とかいてありましたが、具体的にどうすればいいのかわかりません。データは10個で、3次以降の近似曲線はどうやって作ればよいのですか。教えてください。

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A 回答 (1件)

A1="Y"、B1:="X"、C1="X^2"、D1="X^3"の表題を書きます。

(分かりやすくするため)
B2~B11にXを入力。C、D列はXの2乗、3乗を計算します。A2~A11にXに対応するYを入力。
B12に新たなXを入力してC12、D12は計算します。
A12には =TREND(A2:A11,B2:D11,B12:D12) を入力。・・・答えが出ました?

TRENDは予測値を返すだけで『多項式曲線の近似をしたいのですが』ということなら、
y=aX^3+bX^2+cX+d のa、b、c、dを求める必要があるような気がしますが、TRENDでは求められないでしょう。
グラフを書くのも一法ですが・・・

a、b、c、dを求めるには、
1.メニューからツール→アドイン→分析ツールにチェック→OK で分析ツールを組み込みます。
   (もしかしたら追加のセットアップが必要かもしれません。未確認です)
2.組み込んだら、メニューからツール→分析ツール→回帰分析を選択してOK
3.回帰分析のダイアログボックスで
  入力Y範囲に$A$2:$A$11
  入力X範囲に$B$2:$D$11
  出力オプションは一覧の出力先にしてデータの下の範囲を30行15列くらい指定してOK
うまく答えが出たら、 切片=d、X値1=a、X値2=b、X値3=c を表しています。

線形回帰、非線形とか単純回帰、重回帰とか色々ありましたが、これは重回帰分析にあたるんですかね?(忘れてしまった!)
Excelが出すその他の答えについての説明は省かしてもらいます。(よく分からない!)
4次以降も同じ理屈でしょう。ご参考に。
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QM系列の生成多項式と原始多項式について

生成多項式や原始多項式に関する様々な投稿を見ましたが、
いまいち知りたいことがわからなかったので質問いたします。

周期 2^n - 1 のM系列を生成するには、{0,1}を体とする
n次の原始多項式を生成多項式として用いるということまでは
わかったのですが、このn次の原始多項式の求め方について、
いまいち理解できません。

例えば、周期 2^4 - 1 = 15のM系列を生成するには原始多項式

          x^4 + x^1 + 1 ー (1)

を用いるということですが、

            x^4 + x^2 + 1 ー (2)

ではM系列を生成できませんでした。
この2式の違いを理解していないことが原始多項式の求め方を
理解できない原因だと思うのですが、どなたかお詳しい方がいましたら、
ご教授お願いいたします。

Aベストアンサー

#1さんミスしてますので修正を。

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
ですね。
念のため式変形を書くと、
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = {(x^2 + 1) + x}{(x^2 + 1) - x}

だから、そもそも既約でないので、原始多項式にはなりません。
(原始多項式ならば、既約。逆は言えませんが)

しかし、単純に、原始多項式かどうかのチェックをしても、分かりますよね。

いま、数・係数としては、2で割った余りの世界(0と1からなる四則の出来る世界。色んな呼び名があるが、ここではF2と呼びます)を考えていますよね。

x^4 + x^2 + 1 でF2上の(つまり、係数が0と1からなる)多項式を割った「余り」を考えるとき、全ての多項式は、余りは3次以下の(係数が0と1からなる)式になりますよね。

係数が0と1であることから、ax^3 + bx^2 + cx + d たちは、全部で 2^4 = 16 個あるわけです。

いま、4次の原始多項式とは、xが、0を除く15個の余りを全て生成するような多項式を言います。

具体的に言うと、x , x^2 , x^3 , ・・ , x^15 を夫々割った余りがすべて異なり、0以外の全ての3次式が出てくるとき、原始多項式と言います。

ということは、もし途中で(余りとして)1がでたら、次から x , x^2 ・・と最初からの繰り返しになるので、駄目です。
よって x^15 の余りが1であり、それ以前に余り1が出てはいけません。

実は、この逆が言えて、
x , x^2 , x^3 , ・・ , x^14 の余りがすべて1でないとき(つまり x^15 ではじめて1になるとき)、(4次の)原始多項式である ・・・★

ことが言えます。

なので、(もっと良いテクニックは色々あるでしょうが)、★を満たすかどうかを、まじめに計算すれば分かります。

いま x^4 + x^2 + 1 についてやってみると、
x^4 + x^2 + 1 で割った余りは、x^4 + x^2 + 1 = 0 として、x^4 = x^2 + 1 (注:いまF2(2で割った余りの世界)上で考えているから、-1=1) を代入して次数を下げてゆけば求まりますよね。

すると、
x
x^2
x^3
x^4 = x^2 + 1
x^5 = x(x^2 + 1) = x^3 + x
x^6 = x(x^3 + x) = x^4 + x^2 = x^2 + 1 + x^2 = 1
( 2 = 0 より、2x^2 = 0 )
となり、6乗で1になってしまうので、 x^4 + x^2 + 1 は原始多項式でないと分かりますネ。

#1さんミスしてますので修正を。

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
ですね。
念のため式変形を書くと、
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = {(x^2 + 1) + x}{(x^2 + 1) - x}

だから、そもそも既約でないので、原始多項式にはなりません。
(原始多項式ならば、既約。逆は言えませんが)

しかし、単純に、原始多項式かどうかのチェックをしても、分かりますよね。

いま、数・係数としては、2で割った余りの世界(0と1からなる四則の出来る世界。色んな呼...続きを読む

Qexcel(近似曲線)で値を近似曲線に含まない

非常に困っています。回答お願いします。
質問なのですが、EXCELでグラフを作成しプロットを入れて
近似曲線で平均を出したいのですが3点だけプロットは残して
近似曲線に含まないようにしたいのですがどのようにしたらいいのでしょうか?

ちなみに
横の値が
0 10 20 30 50 100 150 200
縦の値が
0 0.06 0.03 0.12 0.12 0.35 0.59 0.65
です。この値の20 50 200
の値をプロットは残して近似曲線に含まないようにしたいのですが
どうしたらいいのでしょうか?
分かりやすい回答お願いします。
使用しているエクセルは2003と2007です。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

20 50 200
だけ別系列にしてマーカーをおなじにすればよいです。
近似は 20 50 200 を含まない方でだせばよいです。

Q多項式を誤解している?

多項式f(x)を求める問題で

条件の一つに

x^4f(1/x)=f(x)

をf(x)は満たすという条件がありました


n>4の範囲では右辺が多項式であるのに、左辺は多項式とならないから、矛盾する

よってf(x)の次数は4以下となる(背理法による証明)


…と模範回答にあるのですが


多項式って

例えば

f(x)=ax^4+b^3+c^2+dx+e

みたいなやつですよね?

f(x)=a/x+b+cx+dx^2+ex^3

みたいな分数型が入った式は多項式じゃないんですか?


多項式って中学生で習うのに、全然理解できてない自分にショックを受けてます。

Aベストアンサー

>f(x)=a/x+b+cx+dx^2+ex^3

みたいな分数型が入った式は多項式じゃないんですか?

そうです.多項式ではありません.
多項式はあくまでxの累乗の指数が非負整数である場合のみ指します.

ですからn>4では累乗の指数が負の整数となってしまうので多項式とは言えなくなるのでn≦4にしかなりえないということです.

Qy=F(x)で、yの値からxの値を求めたい

y=F(x)
の式でx=・・・の形にできれば問題ないのですが、できないときに、yの値でxの値を求めたいのですが、どうすればよいですか?

具体的には

y=F(x)=A1exp(-x/t1)+A2exp(-x/t2)+A3(-x/t3)
で、A1,t1などは、適当に入れる。
これでyの値を決めて、そのときのxの値を求めたいです。

Aベストアンサー

先の回答に訂正です。
while((f(x1-y)*(f(x1-y))>eps
ではなく
while (f(x1)-y)*(f(x1)-y)>eps
です。
久しぶりにVBAで書いたので文法ミスがほかにもあるかもしれません。あとCやFORTRANなら実装例が結構あるかと。

Qべき乗表現と多項式表現

すいません。
べき乗表現と多項式表現の関係がわかりません。
例えば
0000 -> 0(べき乗) -> 0(多項式),
0001 -> 1(べき乗) -> 1(多項式),
0010 -> α(べき乗) -> α(多項式),
0011 -> α~2(べき乗) -> α~2(多項式),
0100 -> α^3(べき乗) -> α~3(多項式),
0101 -> α~4(べき乗) -> α~3+1(多項式),

ここでなぜ、0101がα~3+1になるのでしょう?
であれば、0011はα+1ではないのでしょうか?
また、さらに0110がα~5(べき乗)の時、
なぜ、α~3+α+1になるのでしょう?

理屈を教えてください。

Aベストアンサー

有限体の拡大理論の話です。情報理論系の本を参照されるのが一番とは思いますが。

まずすべて3次以下の多項式表現を考えていること、4桁の2進数を考えていることは
次の方程式:x^4+x+1=0をZ/2Z={0,1}上で考えていることから来ています。
つまりZ/2Z上の多項式環を既約多項式x^4+x+1で割った4次の拡大体を考えるのです。

演算は普通にZ/2Z上の多項式環の演算ですが、x^4+x+1=0という約束がありますから、
かならず3次以下の多項式に変形することができます。
もう少し詳しく言うと、Z/2Zの4次拡大体をGF(2^4)と書くとき、
GF(2^4)の元は3次以下の多項式16個、
0,1,α,α+1,α^2,α^2+1,α^2+α,α^2+α+1,
α^3,α^3+1,α^3+α,,α^3+α+1,α^3+α^2,α^3+α^2+1,α^3+α^2+α,α^3+α^2+α+1
からなる体のことです。

さてべき乗表現と多項式表現の対応を見るには、x^4+x+1=0に気をつけるだけです。
3次以下の多項式はそのままですから放置して、
0101 -> α^4=-α-1=α+1
となります。Z/2Zなので-1=1に注意してください。同様に、
0110 -> α^5=-α^2-α=α^2+α
0111 -> α^6=-α^3-α^2=α^3+α^2
1000 -> α^7=-α^4-α^3=α^4+α^3=(α+1)+α^3=α^3+α+1
などとなります。α^15まで計算すると上の3次以下の多項式がすべて
出てくることに確認してみてください。

なお大事な注意ですが、多項式表現は別の既約多項式を用いて
表すと異なる表示になりうることです。
大抵x^n+x+1のタイプの多項式は既約になるのでこれを用いる
ことが多いのではないかと思われます。
詳しいことは僕は知らないので調べてください。

それから二進表記のまま通常の演算を考えると頭が混乱するので
避けてください。
あくまでべき乗表現、あるいは多項式表現で演算を考えるべきです。
べき乗表現は積の計算に大変便利な表記で、たとえば
α^4×α^3=α^7
などとなります。多項式表現のまま積の計算も出来ますが、
多項式表現はどちらかというと和の計算に便利です。
Z/2Z上で考えているので、2=0に注意して、たとえば
(α^3+α+1)+(α^3+α^2+1)=α^2+α
といった感じです。

検索では下記ページぐらいしか見つけられませんでしたが、
参考にはなるかと思います。

参考URL:http://www.ccad.sccs.chukyo-u.ac.jp/~mito/syllabi/daisu/fext/index.htm

有限体の拡大理論の話です。情報理論系の本を参照されるのが一番とは思いますが。

まずすべて3次以下の多項式表現を考えていること、4桁の2進数を考えていることは
次の方程式:x^4+x+1=0をZ/2Z={0,1}上で考えていることから来ています。
つまりZ/2Z上の多項式環を既約多項式x^4+x+1で割った4次の拡大体を考えるのです。

演算は普通にZ/2Z上の多項式環の演算ですが、x^4+x+1=0という約束がありますから、
かならず3次以下の多項式に変形することができます。
もう少し詳しく言うと、Z/2Zの4次拡大体をGF...続きを読む

Qグラフ曲線で、y値を指定するとx値がわかる関数

意味のわかりにくいタイトルで申し訳ありません。

例えば、
  A  B  C
1  x  y   y2   y3...
2 0.0  0   0
3 0.2  5   20
4 0.4  20  80
5 0.6  80  95
6 0.8  95  99
7 1.0  100  100
というグラフ曲線があり、x=0.5のyを知りたいとします。
そのとき、Trend(B4:B5,A4:A5,0.5)とすれば良いです。
しかし、今度はx=0.5のy2を知りたいとすると、
Trend(C3:C4,A3:A4,0.5)とすればよいですが、
いちいち関数の範囲を縦方向に変えなくてはならず、面倒です。(横方向の範囲はコピーしていけばいいので大丈夫です)
そこで、縦方向の範囲を変えなくてもいいような方法はないでしょうか?
同じような操作を1000回くらいやりたいのですが、さすがに時間がかかってしまい、困っています。

申し訳ありませんが、どなたか教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

>というグラフ曲線があり、x=0.5のyを知りたいとします。
>そのとき、Trend(B4:B5,A4:A5,0.5)とすれば良いです。
>しかし、今度はx=0.5のy2を知りたいとすると、
>Trend(C3:C4,A3:A4,0.5)とすればよいですが、
Trend関数を初めてしりました。すみませんが少し教えてください。
x=0.5のy2を得る式は
Trend(C4:C5,A4:A5,0.5)
ではないのですか?
何故
Trend(C3:C4,A3:A4,0.5)
なのでしょうか?

>いちいち関数の範囲を縦方向に変えなくてはならず、面倒です。
>(横方向の範囲はコピーしていけばいいので大丈夫です)
イマイチ理解できません。
縦方向にコピーした時、式はどの様になるのでしょうか?
横方向にコピーした時、式はどのようになるのでしょうか?
元の式とコピー後の式を提示していただけないでしょうか。
併せて、その時どうなって欲しいのかも教えていただけないでしょうか。

Q同次多項式について

同次多項式における定理、
  同次多項式f(x,y,z)の因子は、また同次多項式である
の証明をわかりやすくおしえてもらいたいのですが・・・
  よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定理かどうかは知りませんが、簡単に証明できますよ。
一般的に次のように言い換えて証明します。

「体K上の同次多項式 f(x_1,・・・,x_n) の因子は、
また体K上の同次多項式である」

質問については n=3で係数が整数(有理数)の場合であるため
上記証明に包含されます。
とりあえず、環、整域、体とか言う言葉を知っていますよね?
知らない場合はわかりやすくないので(^^A
イメージだけつかんでください。

(proof)
背理法による:

f(x_1,・・・,x_n) が K上既約多項式ならば、
因子は定数か自身の定数倍であるため明らか。
したがってK上可約としてよい。

このときfの同次でない因子をgの存在を仮定する。
fは可約より
f(x_1,・・・,x_n) = g(x_1,・・・,x_n)q(x_1,・・・,x_n)
とあらわせる。(剰余定理)
ここで
gの最大項の次数をK,最小項の次数をk
qの最大項の次数をL,最小項の次数をl
とすると、右辺の次数は最大L+K,最小l+kであるが
gは同次でないのでL+K != l+k
これはfが同次であることに反する。

※同次多項式とは、各項の次数がすべて等しい多項式である。
例 f(x,y) = x^2 + 7xy + y^2(2次で同次)
f(x,y,z) = x^3 + 3xyz + y^3 + x^2y (3次で同次)
f(x,y) = x^2 + y+ 3 (同次でない)

※因子とは、整数でいう約数。体(整域)上で定義される。
※既約多項式とは、整数でいう素数。体(整域)上で定義される。

定理かどうかは知りませんが、簡単に証明できますよ。
一般的に次のように言い換えて証明します。

「体K上の同次多項式 f(x_1,・・・,x_n) の因子は、
また体K上の同次多項式である」

質問については n=3で係数が整数(有理数)の場合であるため
上記証明に包含されます。
とりあえず、環、整域、体とか言う言葉を知っていますよね?
知らない場合はわかりやすくないので(^^A
イメージだけつかんでください。

(proof)
背理法による:

f(x_1,・・・,x_n) が K上既約多項式...続きを読む

QExcel関数  A列の値とC列の値の間であればD列の値が抽出される関数

いつもお世話になっております。
F1にある数値を入れ、その数値が一覧表の中の範囲にマッチすればその数値を集計表シートのセルG1に反映したいのです。
例えば
A B C D E F G
1    1 ~ 1000  70 1200 ?
2  1001 ~ 1500  85
3  1501 ~ 2000  92
というような表があるとします。
F1に「1200」と入力するとG1には「85」と出るようにするにはG1にどのような関数を入れたらいいでしょうか。
必要があれば左の数値と~、右の数値は便宜上3列に分けて入力しています。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

VLOOKUP関数でできます。

求める数値がD列にあるとします。
F1の値を $A$1:$D$3の範囲の左端の列から検索して、D列(検索範囲の4列目)の値を求めます。
セルG1に
=VLOOKUP(F1,$A$1:$D$3,4,TRUE)

一覧表を分かりやすくするために3列に分けているのだと思いますが、
値を求めるだけなら、B列、C列の「~1000」などは不要です。
B列、C列を削除して、「70,85,92・・・」をB列にしておけば
=VLOOKUP(F1,$A$1:$B$3,2,TRUE)
で求められます。

VLOOKUP関数をヘルプで参照していただくとわかると思いますが、
>TRUE を指定するか省略すると、検索値 が見つからない場合に、検索値 未満で最も大きい値が使用されます。
検索値が1200の場合、1200はA列にありませんが、1200未満でもっとも大きい値「1001」に対応する「85」が得られます。

Q多項式の定義について

「X~2+2√x+1、は多項式ではない」と参考書に載っていたのですが、なぜ多項式ではないのでしょうか。項が複数あるので多項式だと思うのですが。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

> 項が複数あるので多項式だと思うのですが。
正確に言うと、「単項式」が複数ある(加算、減算されている)場合に多項式と呼びます。

変数xの単項式は、
ax^n (a: 定数, n: 0以上の整数)
で表されます。

質問で挙げられた式は、2√xが 2√x = 2x^1/2 ですので単項式ではなく、そのため式全体は多項式ではないと言えます。

QEXCELの近似曲線で対数近似、指数近似が選べない

EXCEL2000を使ってます。グラフに近似曲線を追加する際に、対数近似と指数近似と累乗近似が選べない状態です。(線形近似、多項式近似、移動平均は選べます)
何か設定が必要なのでしょうか? 教えてください。

Aベストアンサー

特に設定の必要はないと思いますが、その現象はどんな時にでも起こるものですか?

近似曲線の種類が選べない場合、その曲線を引くための計算ができないデータ群を対象としているケースが考えられます。
たとえば、指数近似曲線や累乗近似曲線は0やマイナスの値が含まれていると作成できません。


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