等速円運動の運動方程式について

等速円運動の運動方程式に関しての質問です．
等速円運動の半径：r，速度：v，角加速度：ωの関係は
r=v÷ωで表すことができますが，例えば，速度vが増加し半径rが増加していく様子や，その時の角加速度ωを運動方程式や差分方程式に直すことは可能でしょうか？考えてみたのですが，それぞれの関係性をどう表せば良いのかわかりませんでした．（直線運動での位置や速度，加速度の差分方程式は立てれるのですが・・・）
ご存知の方がいらっしゃれば教えていただきたいです．よろしくおねがいします．

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/11/07 22:32

＞r=v÷ωで表すことができますが，例えば，速度vが増加し半径rが増加していく様子や，その時の角加速度ωを運動方程式や差分方程式に直すことは可能でしょうか？

(´・ω・`)
ええと、それって角速度が変わらない時の事象だよね。
難しく考えすぎているんじゃないかな。

この回答へのお礼

銀鱗さんありがとうございます．
例えば，内側の赤の円上で動いていて，途中に速度が変化すると外側の黒の円上で動くように変化するように運動方程式，差分方程式を立てたく質問させていただきました．
式から赤の円上，黒の円上への変化することはわかるのですが，方程式で表すとどうなるのでしょうか・・・．
ご存知でしたら教えていただきたいです．

お礼日時：2017/11/07 22:38

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/07 23:21

円運動の「周速度」が

　v(t) = rω = r * dθ/dt
です。
つまり、ここでいう「速度 v」とは、r と直角方向の速さです。「極座標」でいえば「θ方向」です。

半径が定数ではなく r=r(t) であれば
　v(t) = r(t) * dθ/dt
として、「半径方向の速さ：極座標の r 方向」と「半径に直角方向の速さ：極座標の θ 方向」に分けて、あるいは「分けずにベクトルとして」運動方程式を立てればよいです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。半径の運動方程式を求めたい場合はr(t)=v(t)*dt/dθで求めればよろしいのでしょうか？またどのようにたてていけばよろしいでしょうか？

お礼日時：2017/11/08 23:06

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/08 12:49

rやvが変化したら最早円運動とは言えないのに

r=半径
という縛りで考えていたらまとまらないでしょう。

r=動径の長さ

として極座標で考えたらいかがですか?

勿論
r=v÷ω
は成り立ちません。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/09 00:28

No.2です。

「お礼」に書かれたことについて。　

＞半径の運動方程式を求めたい場合はr(t)=v(t)*dt/dθで求めればよろしいのでしょうか？またどのようにたてていけばよろしいでしょうか？

ｒが変化するので、もはや「円運動」ではなく「一般の運動」なので、任意の座標系で運動方程式を立てればよいです。
それを「基準点からの距離：r 」を使って表したいなら、極座標を使って
　→r = (r, θ)
（３次元なら →r = (r, θ, φ)　)
とすればよいです。

半径方向の運動方程式は、その要因となる力を使って表わすことになります。
少なくとも、r(t)=v(t)*dt/dθ などと書いても意味がありません。

「半径も変化する回転運動」としては、下記のような「サイクロトロン」という粒子加速器の中の粒子の運動があります。
http://www.rs.noda.tus.ac.jp/~junsei/2PH/text/2- …
http://www.riruraru.com/cfv21/phys/kup09f2.htm