2010年の三重大学の入試問題です。解き方がわからないので教えてください。 次の問いに答えよ． (1

2010年の三重大学の入試問題です。解き方がわからないので教えてください。

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．

No.1 ベストアンサー 回答者： kannnami 回答日時： 2017/11/26 22:22

易しい問題のようですが。

(1) だけ解いて見ます。あとは考えてください。数学の問題を解くのは記憶に頼るのではありません。自分でやってみて、コツを会得するしかないのです。
題の式から
p-r=(s-q)√2
左辺は明らかに整数
右辺の(s-q)も整数だから右辺はs=qでない限り、無理数。
整数＝無理数となることはないから、s=qで、左辺も0、つまりp=r
Q.E.D.
(2),(3)も同じようなものです。やり方が分からないとは、数学的帰納法が分からない、ということですか？　nが自然数の時、与式が成立するとして、nをn±1としたときにも成立することを示せばいいのです。n=1の時には明らかに成立しているのですから、この論理で、すべての整数nに対して成立することになります。こうした数学的帰納法が分かっていれば、すぐできます。もし分かっていなければ、答えを暗記したところで役に立ちません。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
(2)のn=k+1のとこで手こずっていたのですが、返信が来るまでのあいだ、色々試して考えていたらできました！
ありがとうございました

お礼日時：2017/11/26 22:44