今、大学一年生です。 微分積分でわからない問題があります。 ひとつでも解ける人がいたらお願いします。

今、大学一年生です。
微分積分でわからない問題があります。
ひとつでも解ける人がいたらお願いします。
あとできれば手書きで解いた用紙を写真で送ってくれると見やすくて助かります…(^^)v

来週テストなので結構急いでます、お願いします！(^^)

質問者からの補足コメント

• 1ー1と2ー1の僕なりの答えを載せておきます（答えは間違えてますが…）
  
  ちなみに解答は
  
  1-1 4/3
  1-2 (3π-4)/9
  
  2-1 √2/4
  2-2 π^2/16
  
  です。

    補足日時：2018/02/02 17:22

• 1-1（間違えてます）

  
    補足日時：2018/02/02 17:23

• 1-1（間違えてます）

  
    補足日時：2018/02/02 17:23

• 2-1（間違えてます）

  
    補足日時：2018/02/02 17:24

• 2-2（間違えてます）

  
    補足日時：2018/02/02 17:25

• 1（2）の僕の誤答です

  
    補足日時：2018/02/03 13:38

• 写真（勘違い）

  
    補足日時：2018/02/03 15:53

• 写真（勘違い）

  
    補足日時：2018/02/03 15:54

• 途中式まであってるかお願いします

  
    補足日時：2018/02/05 20:44

No.15 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/06 03:24

私も, D_n = {(x, y) ∈ ℝ² | x ≧ 1/n, y ≧ 0, x² + y² ≦ 1}, を採用しました.

ただ, E_n = {(r, θ) ∈ ℝ² | 1/n ≦ r ≦ 1, 0 ≦ θ ≦ π/2}, で正しいでしょうか.
θ の範囲は n に依存し, r の範囲は n と θ に依存します.
もう一度, よく考えてみてください.

この回答へのお礼

ありがとうございました！

微積のテストは何とか乗り越えられたと思います。

次からは直前になって焦らないように前もって勉強したいと思います…

関係ない話なんですが普段は何をされてる方なんですか？

お礼日時：2018/02/07 21:59

No.14 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/06 00:36

はい, それで正しいです.

よって, 正解は貴方が考えていた値の 2 倍になります.

この回答へのお礼

ありがとうございました！

あと…2（2）やっぱり聞いときたいです、お願いします。

D n＝｛ x>=1/ n, y>=0, x^2+y^2<=1 ｝とする
↓
x＝r cosθ, y＝r sinθとおく（Ｊ＝r）
↓
E n＝｛ 1/ n<= r<=1, 0<=θ<=π/2 ｝
↓
↓
↓
計算していく

これじゃでないですよね？

お礼日時：2018/02/06 02:11

No.13 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/05 23:27

うーん...

そうだとしたら, 貴方の書いた ∬_D √(a² - x² - y²) dxdy という式は, どこから出てきたのでしょう.
被積分関数が √(a² - x² - y²) だと思ったのは, なぜですか.
1 を z = 0 から z = √(a² - x² - y²) まで積分したと解釈するしかないので, 上半分の体積ですよね.
全体の体積なら, 1 を z = -√(a² - x² - y²) から z = √(a² - x² - y²) まで積分する必要があります.

この回答へのお礼

∬_D√（a^2- x^2- y^2)-(-√a^ 2- x^2- y^2)dxdyであってますか？

お礼日時：2018/02/06 00:03

No.12 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/05 22:11

2(2) の広義重積分は, 貴方が大丈夫というなら, 私はこれ以上の口出しはしませんが, 甘く見ないほうがいいですよ.

気が変わったら, 遠慮なく申し出てください.

で, 追加の質問に関してですが...
∬_E {√(a² - r²)}r drdθ というのは, 求める体積そのものですか.
それとも, xy 平面の上にある部分の体積でしょうか.
お描きになった図を見ると, 斜線で塗られているのは, xy 平面の上にある部分だけのようですが.

この回答へのお礼

そんな複雑ですか…

とりあえず補足の方を先に解決したいと思います。

すいません、塗り忘れです。

問題文は

球 x^2+y^2+z^2=a^2 の内部にある円柱 x^2+y^2<=axの部分の体積を求めよ

なのでx yの下にある部分も入ると思います

お礼日時：2018/02/05 22:38

No.11 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/04 14:29

その後, 進展はありましたか.

1(2) 以上に, 広義積分である 2(2) は, 慣れていないと面倒に感じると思います.
試験で悔いを残さないためにも, 疑問点があれば, なんでも遠慮なく質問してください.

この回答へのお礼

返信遅くなってすいません

この質問の問題は大丈夫そうです

新しく補足に追加した問題の途中式があってるか確認してもらえないでしょうか？

お礼日時：2018/02/05 20:42

No.10 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/03 16:10

はい, 写真の右図で正しいです.

No.9 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/03 15:24

1(2) は, 積分領域が正しくありません.

ただし, 図は正しく描けています.
x² + y² ≦ x を, r と θ を用いた不等式に直すと, r² ≦ rcosθ となります.
これを r の 2 次不等式と考えて, 解いてみてください.
と言っても, θ の範囲を正しく理解していないと, 解けませんよね.
御自分で描いた図を見て, -π/2 ≦ θ ≦ π/2 が正しいと, 理解できますか.
ここまでをクリアできれば, あとは簡単な計算問題です.

この回答へのお礼

補足で写真（勘違い）を追加しました

今まで写真の左図がθとrだと勘違いしてました。
写真の右図の解釈であってますか？

お礼日時：2018/02/03 15:52

No.8 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/03 13:13

1(1) v の範囲は, あまり難しく考える必要はありません.

積分領域を面倒くさがらずに図示すれば, さらに理解しやすいでしょう.
x = (u + v)/2 と y = (u - v)/2 は, 御自分で正しく求めていますよね.
で, D を見ると, x ≧ 0, y ≧ 0 という条件がついています.
つまり, (u + v)/2 ≧ 0, (u - v)/2 ≧ 0 となります.
最初の不等式を解くと -u ≦ v, 次の不等式を解くと v ≦ u となります.
その両方が成り立つので, -u ≦ v ≦ u となります.

この回答へのお礼

ありがとうございました！
理解できました

1（2）を僕が解いたのを写真で付け足しました、もしよければ添削お願いします。

あと厚かましいようですが他にもわからない問題があって、別で質問しているのでそちらの方もお願いしてもよろしいでしょうか？

お礼日時：2018/02/03 13:36

No.7 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/03 12:47

解答（正答とは意味が異なります）を書いてしまった人がいるので, 取りあえず最初の問題だけ, 検算してみました.

>1) I=∫[1~3] {∫[-u~u]{(u^2+v^2)/(2u^3)}(1/2)(1/2)dv }du=∫[1~3](2/3)dv=4/3.
x² + y² = (u² + v²)/2 なので, (x² + y²)/(x + y)³ = (u² + v²)/(2u³) となります.
ただ, (1/2)(1/2) と, 1/2 を 2 つ掛けているのが謎ですね.
最後に 2/3 を v = 1 から v = 3 まで積分しているのも不可解で, 当然 u = 1 から u = 3 まで積分するべきです.

非数学専攻者のミスは, 数学専攻者がきちんと訂正しますので, 安心して「教えて!goo」を利用してください.
以下の補足質問についても, このあと, きちんと説明します.
>返信ありがとうございます。
>2（1）は正解が出たのですが、
>1（1）のvの正しい範囲がわかりません…

No.6 回答者： diff3356 回答日時： 2018/02/03 09:09

1) I=∫[1~3] {∫[-u~u]{(u^2+v^2)/(2u^3)}(1/2)(1/2)dv }du=∫[1~3](2/3)dv=4/3.

2) I=∫[-pi/2~pi/2] {∫[0~c]√(1-r^2)*rdr} dφ=(1/3)∫[-pi/2~pi/2]{1 - |sinφ|^3}dφ=(1/3)*2{pi/2 - (2/3)*1}.
3) I[ε]=∫[0~pi/4]{∫[ε~1](rc/r)*rdr}dφ として、I=lim[ε→+0]I[ε]=1/(2√2).
4) I=∫[0~pi/2]{∫[0~1]arctan{rs/rc)}*rdr }dφ
=(1/2)∫[0~∞]arctan(u)du/(1+u^2).
ここで、∫[0~∞]arctan(u)du/(1+u^2)=A とおくと、
A=[{arctan(u)}^2] - A より、A=(pi/2)^2/2.
となります。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます
参考にさせていただきます！

お礼日時：2018/02/03 13:10