空間ベクトルのこの問題の⑵が全く分かりません。垂直の条件に沿って計算がしたつもりですが全く解けず。解

空間ベクトルのこの問題の⑵が全く分かりません。垂直の条件に沿って計算がしたつもりですが全く解けず。解き方とその答えを教えてください、お願いします。紙に書いて写真での解答がラクかもしれないのでそのようにしていただいても構いませんので。お願いします。

質問者からの補足コメント

• metabolian さん ありがとうございます。
  多分MとNは2対１に内分する点で全て√10/3になる時が1番小さいと思うのですがどうでしょうか。またこれを数学的に見つけ出すことができるのであれば教えて欲しいです。

    補足日時：2018/02/07 22:51

• 質問しといてあれなんですけどわかりました

    補足日時：2018/02/07 22:54

• なんども申し訳ありません。M,Nを1/3DC,2/3HGの位置でもう一度⑵を解いていただけませんか？
  ⑴は同じ答えになります。
  ⑵はよく分らないのでお願いします。

    補足日時：2018/02/07 23:01

• 解けました。ありがとうございました

    補足日時：2018/02/07 23:19

No.1 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2018/02/07 22:17

(1) 立方体を上から見ると、|AM|+|NF|の最小値はMとNがそれぞれCD、GHの中点にあるとき。

この時、|MN|=1。
すると、(AP→)=(AM→)+(MP→)=(AM→)+(2/3)(MN→+(1/2)NF→)=…=(2/3)(a→+b→+c→)

(２) EQ→=p(a→)+q(b→)+r(c→) （p,q,rは実数）
とすると、(EQ→)⊥平面FMNなので、
(EQ→)⊥(MN→) ⇒ (EQ→)･(c→)=0 ⇒ p・0+q・0 + ｒ・１=0 ⇒ r=0
(EQ→)⊥(NF→) ⇒ (EQ→)･((1/2)(a→)+(b→))=0 ⇒ p・(1/2)+q・(-1) + ｒ･0=0 ⇒ q=p/2

すると、EQ→=p(a→)+(p/2)(b→) であり、Qは平面EFGH上にあります。
Qは平面FMN上にもあるので、結局Qは線分NF上にあることになります。

(EQ→)=(EN→)+t(NF→) (tは実数) とおくと、

p(a→)+(p/2)(b→) = (1/2)(t+1)(a→)+(1-t)(b→)
a→とb→それぞれの係数を比較すると、pとtの連立方程式ができ、
p=4/5、t=3/5

∴ AQ→= AE→+EQ→ =c→+(4/5)(a→)+(2/5)(b→)