3囚人問題について、Bの死刑が分かったときのAが助かる"条件付き確率"は1/2で正しいでしょうか？

3囚人問題について、Bの死刑が分かったときのAが助かる"条件付き確率"は1/2で正しいでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 有名な問題ですがコピペさせていただきます。…と思ったのですがキャパの問題で貼れませんでした( ´-` )
  
  丁寧にやると次のように考えたことになります。
  囚人Bが死刑になる事象をB、囚人Aが助かる事象をAとすると、求める条件付き確率はP(A∩B)/P(B)となる。P(B)=2/3,P(A∩B)=P(A)=1/3であるから求める確率は(1/3)÷(2/3)=1/2である。

    補足日時：2018/04/14 23:49

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/17 08:55

>Aが恩赦、Cが死刑のときに看守がCが死刑と答えるパターンは

>ⅱ)看守がCが死刑になると答えるときの
>「Aが恩赦、Bが死刑」のパターンとして数えられていますし

数えられているのでは駄目。
正確に「看守がBは死刑と言う」(私のいうところの事象b)
の場合を全て抜きだし、個々の確率を正確に
見積もらないと計算はできません。

場合の数は役に立たないので忘れましょう。

>パターンは「看守がBが死刑と答える」と「看守がCが死刑と答える」の2通り
>というふうにやっても結果は同じになるかと思います。

やってみましょう。結局前やったのと同じ計算なんですが
パターン分けは看守が誰を死刑とすると言う
かで分けます。
Q=1/2, 看守がCは死刑という事象をcとすると

P(A恩赦で看守はB死刑)=P(b|X)P(X)=1/6
P(A恩赦で看守はC死刑)=P(c|X)P(X)=1/6
P(B恩赦で看守はB死刑)=P(b|Y)P(Y)=0
P(B恩赦で看守はC死形)=P(c|Y)P(Y)=1/3
P(C恩赦で看守はB死刑)=P(b|Z)P(Z)=1/3
P(C恩赦で看守はC死形)=P(c|Z)P(Z)=0

P(全事象)=上の総和=1

#看守がAの生死を言及することはルールで
#禁止されているのであり得ません。

P(b)は上の1、3、5番目の和なので1/2
P(X|b)は上の1番目をP(b)で割るので1/3

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/16 04:47

>パターンは「Aが死刑、Cが恩赦」と「Aが恩赦、Cが死刑」の2通り

Aが恩赦、Cが死刑の場合、看守がBが死刑 と答えるとは限りません。
つまり、各パターンが同じ「確からしさ」を持っていないので
数を数えても確率は計算できません。

計算はこうです。
看守が Bが死刑答える事象をb
Aが恩赦をうける事象をX
Bが恩赦をうける事象をY
Cが恩赦を受ける事象をZ
としましょう。

P(X)=P(Y)=P(Z)=1/3 とします。

まず看守が Bが死刑答える確率P(b)を考えます。

Aが恩赦の場合、看守がBが死刑と答える確率をQとすると

Aが恩赦を場合、P(b|X)=Q
Bが恩赦の場合、P(b|Y)=0
Cが恩赦の場合、P(b|Z)=1
P(b)=P(X)P(b|X)+P(Y)P(b|Y)+P(Z)P(b|Z)=(1/3)Q+(1/3)

事象bが起きたとき事象Xが起きる条件付確率は
P(X|b)=P(b|X)P(X)/P(b)=(1/3)Q/{(1/3)Q+(1/3)}=Q/(Q+1)

Qは看守の恣意なのでどうにでもなりますが
仮に、看守がサイコロをふって平等に決めているなら
Q=1/2 → P(X|b)=1/3
Aが恩赦のときBは死刑と答えると看守が予め決めているなら
Q=1 ならP(X|b)=1/2

この回答へのお礼

Aが恩赦、Cが死刑のときに看守がCが死刑と答えるパターンはⅱ)看守がCが死刑になると答えるときの「Aが恩赦、Bが死刑」のパターンとして数えられていますし、人為的な要素(看守の意思)は考えないはずなので、各パターンの確率は同様に確からしいと思います。
ⅰ)Aが恩赦のとき
パターンは「看守がBが死刑と答える」と「看守がCが死刑と答える」の2通り
…
というふうにやっても結果は同じになるかと思います。

あなた様のやり方について、看守がBが死刑と答えると決めている可能性はおそらく考えないと思うのでQは1/2かと思いますが、P(b)がP(X)P(b|X)+…の和で求められるのがよくわかりません。お教えいただけますでしょうか。

何度も何度もすみません(^^;

お礼日時：2018/04/16 19:33

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/15 13:09

>囚人Bが死刑になる事象をB

ここがまちがってます。
事象Bは、
囚人Bが死刑になると看守が答える

ということです。

Aが恩赦された場合、囚人Bは死刑になりますが
看守は囚人Cが死刑になると答えることもできます。

征って、「囚人Bが死刑になる」と「囚人Bが死刑になると看守が答える」
は同じ事象では有りません。
三囚人問題でAが知るのは後者です。

この回答へのお礼

仮に事象Bがそうだとしても次のようになると思うのですが…。

ⅰ)看守がAが死刑になると答えるとき
パターンは「Bが死刑、Cが恩赦」と「Bが恩赦、Cが死刑」の2通り。
#看守がAが死刑になると答えAが恩赦になるパターンはありえない
ⅱ)看守がBが死刑になると答えるとき
パターンは「Aが死刑、Cが恩赦」と「Aが恩赦、Cが死刑」の2通り
ⅲ)看守がCが死刑になると答えるとき
パターンは「Aが死刑、Bが恩赦」と「Aが恩赦、Bが死刑」の2通り
よって全場合の数は2×3=6通り
ここでP(B)=2/6=1/3、P(A∩B)=1/6だから求める条件付き確率は(1/6)÷(1/3)=1/2

お礼日時：2018/04/15 18:55

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/14 23:23

え、有名な問題だから教科書見てるんですよね。

Aが恩赦を受けると看守が知っていた場合の看守がBが死刑と答える
条件付確率に依存する。それが1/2なら1/3になり、Aが助かる確率は
好転しない。

教科書そのまんまです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/14 23:09

そもそも、どういう条件なのですか？

No.1 回答者： ポプ裸 回答日時： 2018/04/14 22:16

その問題が分からないのですが条件付きの時点で1/2じゃないんじゃないですか？助かる、助からない、今は助かるでは？