一般位相の開区間・閉区間の問題です。 a_i , b_i ∈ R ( a_i < b_i , 1 ≤

一般位相の開区間・閉区間の問題です。
a_i , b_i ∈ R ( a_i < b_i , 1 ≤ i ≤ n ) に対して、n個の開区間の直積
(a_1,b_1)×⋯×(a_n,b_n)
は R^nの開集合であり、閉区間の直積
[a_1,b_1 ]×⋯×[a_n,b_n]
は R^nの閉集合であることを示しなさい。


以上のような問題です。開区間のほうはn個のεの中から一番小さいものを取ればいいんだろうなーと思うんですが完全には証明できず、閉区間のほうはさっぱりです。教えていただけたら幸いです。よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/24 19:59

記述ミスがありました。

「長方形の外側にある点(x,y)について、ε=(1/2)min{|x－a_1|、|x－a_2|、|y－b_1|、|y－b_2|}として、点(x,y)を中心とした半径εの円を書くと、長方形の外側の部分に完全に含まれます。」

ですが、正しくは

「長方形の外側にある点(x,y)について、|x－a_1|、|x－a_2|、|y－b_1|、|y－b_2|のうち、0でないものの中で最小なものをεとする。点(x,y)を中心とした半径ε/2の円を書くと、長方形の外側の部分に完全に含まれます。」

理由：例えば、(a_2,b_2+1)も長方形の外側にある点ですが、誤りの文章の場合はε=0となります。なので、その状況を回避するために訂正しました。

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/24 16:02

＞[a_1,b_1 ]×⋯×[a_n,b_n]は R^nの閉集合であることを示しなさい。

これもまずは[a_1,b_1]×[a_2,b_2]のケースで考えてみればいいです。ただ、閉集合の場合は、補集合が開集合であることを示す方が簡単なこともあります。

[a_1,b_1]×[a_2,b_2]の補集合、ようするに長方形の外側の部分が開集合であることを示すわけです。

長方形の外側にある点(x,y)について、ε=(1/2)min{|x－a_1|、|x－a_2|、|y－b_1|、|y－b_2|}として、点(x,y)を中心とした半径εの円を書くと、長方形の外側の部分に完全に含まれます。

理由については自分で図を書くことで納得してください。

そのことから、[a_1,b_1]×[a_2,b_2]の補集合は開集合となり、これはつまり[a_1,b_1]×[a_2,b_2]の長方形が閉集合であることを意味します。

もちろん[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×[a_3,b_3]の直方体も閉集合です。これも同じように解けますので、しっかり図をイメージしながら解いてください。

２次元、３次元の場合を解けば、ｎ次元も自然と解けることかと思います。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/24 11:08

＞開区間のほうはn個のεの中から一番小さいものを取ればいいんだろうなーと思うんですが完全には証明できず

まずn次元でイメージできないならば、2次元や3次元など想像できる範囲で証明してみてください。

開集合の定義は「A」と「Aの内部」が一致することでしたよね？

以下の図を見てください。(a_1,b_1)×(a_2×b_2)の長方形を書きました。

これが開集合だと示す時には、Aの内点の集合である内部がAと一致することを示すと言いましたよね。

要するに長方形の内部の点をどう取ろうと、それが内点であることを示せばよいわけです。

以下の図のように点(x,y)を置きます。図には各辺までの距離を示したd_1、d_2、d_3、d_4という文字がありますが、d_1=|x－a_1|、d_2=|x－a_2|、d_3=|y－b_1|、d_4=|y－b_2|と表されることは大丈夫ですか？

その中で一番小さいもの（図の(x,y)の位置ではd_4かな？）より小さな正数εを取ります。要するに図の場合は、0<ε<d_4を満たすεを取ります。そして、(x,y)を中心とした半径εの円を書くと、円は完全に長方形に含まれていますよね？

なので、(x,y)はAの内点となるのです。

ただ、(x,y)の位置によってはd_3が最小であったり、d_2が最小であったり、d_1が最小であったり違うわけです。そこで一つの数式にまとめたいと思い、以下の表現を使います。

min{|x－a_1|、|x－a_2|、|y－b_1|、|y－b_2|}と表記します。そして、どの(x,y)においても0<ε<min{|x－a_1|、|x－a_2|、|y－b_1|、|y－b_2|}を満たすεを取って、(x,y)を中心とする半径εの円（これを点(x,y)のε近傍と呼びます）を書くと、きちんと長方形の中に円が含まれています。

ただ、証明ではε=(1/2)min{|x－a_1|、|x－a_2|、|y－b_1|、|y－b_2|}と書くこともありますけどね。別に(1/2)でなくても(1/3)でも(1/4)でも本質的には変わりません。とにかく各辺までの距離で最小な長さより小さく取ればいいわけですからね。

なので、長方形(a_1,b_1)×(a_2,b_2)内の全ての点(x,y)が内点だとわかったので、この長方形自体が開集合であることが示されました。

あなたには是非(a_1,b_1)×(a_2,b_2)×(a_3,b_3)の直方体も開集合であることを証明してほしいです。3次元もギリギリイメージできるので、証明しやすいと思います。

そしてこれをn次元に拡張するのですが、2次元の証明や3次元の証明を見ていたら、n次元ではこう証明すればよいなというのが見えてくるはずです。

ヒントとしては、(a_1,b_1)×⋯×(a_n,b_n)に含まれる点(x_1,x_2,…,x_n)が内点であることを示せばよいわけです。ただ、これにいきなり取り掛かる前に、3次元バージョンを解いてイメージをつけてから取り組んでいただくことをおススメします。

文章が長くなったので、ここで一度終わります。