ミクロ経済学について

ミクロ経済学の問題です。
企業の生産関数を
y＝F(K,L)= Lの1/3乗×Kの1/3乗
とする。
労働と資本の要素需要関数と長期の供給関数を求めましょう。
という問題
※Kは資本、Lは労働

π=P×L
の1/3乗×Kの1/3乗−wL−rk
この後どうしていけばいいかわかりません。

詳しい方出来るだけわかりやすくよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/07/02 20:25

Π＝PF(K,L) - wL -rK =P( L^1/3・ K^1/3） - wL - rK

をLとKについて最大化する。
1階の最大化条件は、ΠをLとKについて偏微分して０と置くことで得られる。よって
0=∂Π/∂L=( P/3)L^(-2/3)・K^1/3 - w　　　　　　　　　　　　　　　(*)
0=∂Π/∂K = (P/3)L^1/3・K^(-2/3) - r　　　　　　　　　　　　　　　(**)
これら2つより
K/L = w/r
よって
K = (w/r)L
あるいは
L= (r/w)K
を得る。
上式を(*)の右辺のKに代入して整理すると
L = (1/27)(w/r)(w/P)^(-3)
となる。同様にして上式を(**)の右辺に代入すると
K = (1/27)(r/w)(r/P)^(-3)
となる。前者は労働の、後者は資本の需要関数だ。Pとｒを与えられたとき、Lはｗの減少関数、Pとｗを与えれれたときKはｒの減少関数であることがわかる。一方、供給関数を得るためにはこれらを生産関数に代入し、LとKを消去する。結果は

y = [(1/3)(w/r)^1/3・(w/P)^(-1)][(1/3)(r/w)^1/3・(r/P)^(-1)] = (1/9)P^2/(wr)

となる。ｗとｒが与えれれとき、供給量は価格Pの増加関数となる。計算間違いがあるかもしれないので、確かめてください。