「1」と「0.999・・・・」は、同じ大きさですか？

私が中学生だったときに同級生から聞いたことを突然思い出しました。

それは、「１」と「０．９９９・・・・（９がずっと続く数字）」は、同じ大きさの数字だということです。

これは、本当ですか。

１＝１×３÷３＝１÷３×３＝（１÷３）×３＝０．９９９・・・・

だからだとか。

No.2 ベストアンサー 回答者： kbannai 回答日時： 2004/11/07 05:25

１＝0.999… は正しいです。

小学生向き、中学生向き、高校生向き、大学生・一般向きといろいろ証明方法はあると思います。

中学生向きとすれば、あなたの証明方法で良いと思います。

１を３で割ると、割りきれなくて、0.333…ですよね。
つまり、１÷３＝0.333…
両辺を３倍すれば、１＝0.999…になります。

高校生になれば「循環小数」というものを習います。

ｘ＝0.999…とおいて、両辺を10倍すれば、10x=9.999…
となります。
そこで、10x=9.999…からx=0.999…を辺々引けば、小数点以降がすべて消えて、9x=9となります。それから、両辺を９で割れば、ｘ=1 となり、なりますから、当初の x=1 という等式が得られます。
ゆえに、0.999…＝１という等式が得られます。

大学生や一般向きにとっての説明は少々「無限の概念」が必要になりますから、図書館で調べてみてくだい。勉強になるますよ。

疑問に思う言うことは、とても大切なことです。
他人のいうことを過信に信じるまでもなく、自力納得のしくことが重要で重要です。その姿勢を大事しにしてくだささい。

さらに、知的好奇心をな毒足するには、大学で数学関係の
学科に進学すつことが良いと思います。

がんばってくださいね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

10x=9.999…　は、とても面白いですね。

大学進学のことはさておき(笑、、深く追求しないでくださいね)、同じ大きさなのにふたつの書き方(？)が存在しているのは興味深いことです。
もしかしたら、0.999… は、数字というより記号としてとらえたほうが良いのかな、とか色々考えてしまいます。
本当に面白い。

ありがとうございました。

お礼日時：2004/11/07 07:03

No.3 回答者： damegakusei 回答日時： 2004/11/07 06:51

0.99・・・と言う数ですが、

０．９９・・・＝lim（ｎ→＋∞）Σ（３÷１０＾ｋ）　（ｋ＝１～ｎ）
とする無限級数と厳密に同値である、と思われます。
無限級数である、と言う事はすでに０．９９・・・自体が極限値、と言う意味合いを含むと思われるので、
０．９９・・・＝１と言えるかと思います。
lim（ｎ→＋∞）Σ（３÷１０＾ｋ）　（ｋ＝１～ｎ）
に関しては、高校数学でも等比数列の総和の極限、と言う形で習うかと思います。
それ以外の解法を、と言うならば、１÷３×３　と言う方法を取る以外にありません。
慣れてしまえば、無限級数、あるいは等比数列の総和の極限、として捉える方が、理解し易いですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。。。

。。。。、、、。。
わかりません。理解できません。ごめんなさい。今、パニック状態です。。。
でも、理解できないんです。ごめんなさい。数字と記号の羅列にしか見えません。

高校のとき数学をちゃんと勉強しておくべきでした。(泣)

ありがとうございました。そして、理解できなくてごめんなさい。

お礼日時：2004/11/07 07:08

No.1 回答者： reachippatu 回答日時： 2004/11/07 04:58

この話題は、今まで教えてgooでもさんざん投稿されました。

結論を言うと同じです。
考え方としてはbinzumeさんの式で、おおかた合ってます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

まさか、さんざん投稿されているとは思わず調べもせずに質問してしまいました。失礼しました。

「1」と「0.999…」が同じ数字だというのは、私の感覚の中でどうしても納得いかなかったので質問しました。

ありがとうございました。

お礼日時：2004/11/07 06:44