z^n=1となるようなzの絶対値は必ず1であることを証明してください なるべく高校数学の範囲で解ける

z^n=1となるようなzの絶対値は必ず1であることを証明してください
なるべく高校数学の範囲で解けるとありがたいです

質問者からの補足コメント

• 皆さんのおかげでわかりました
  ありがとうございます！

    補足日時：2018/01/17 19:13

No.1 ベストアンサー 回答者： asano_nagi 回答日時： 2018/01/17 17:43

複素数 z, w に対して、 |z|×|w| = |zw| （複素数を掛け合わせたものの絶対値は、元の複素数の絶対値の積に等しい）が使えると簡単なのですが。

|z| ≠ 1 ⇒ |Z^n| ≠ 1 ∴ |z| ≠ 1 であるような複素数に、z^n = 1 となる複素数は存在しない。
この対偶を取ると、z^n = 1 ⇒ |Z| = 1

この回答へのお礼

z≠|1|⇒|z^n|≠1はなぜわかるのでしょうか

お礼日時：2018/01/17 18:09

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2018/01/17 18:58

z^n=1の両辺の絶対値をとって

｜z｜^n=1＞0　だから両辺を1/ｎ乗して
｜z｜＝1

No.3 回答者： asano_nagi 回答日時： 2018/01/17 18:37

> z≠|1|⇒|z^n|≠1はなぜわかるのでしょうか

z ^ n の絶対値は z の絶対値のn乗です。
つまり1でないもののn乗なので1ではないです。

この回答へのお礼

1でない実数のｎ乗は1ではないのはなぜ分かりますか？

なんか馬鹿ですみません^^;

お礼日時：2018/01/17 18:49

No.2 回答者： diff3356 回答日時： 2018/01/17 18:33

|A|*|B|=|A*B| ですから、自然数ｎについて、

|z^n|=|z|^n.
方程式の両辺の絶対値をとり、|z|^n=|1|=1. すなわち、|z|=1です。