数学について。

次の3問がわかりません。教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• 

  (3)は、なぜ、nが、3の倍数と、そうでない場合に分けているのでしょうか？教えていただけると幸いです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/02/11 20:09

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/12 15:45

No.1~3 です。

ああ、そうなんだ。

#1 に書いた

＞「３」は「１の虚数立方根を～」とあるので、説明しようがありません。

の「１」は、画像の範囲外にある「問１」のことを指しているものと考えてのことです。
そうではなく「複素数 1」ということなのですね。
勘違いしていました。すみません。

その場合には、複素数を極形式で表わして、k を整数として

　1 = cos(2kパイ) + i*sin(2kパイ)

として、この立方根を

　ω = cos[(2/3)kパイ] + i*sin[(2/3)kパイ]

とするということですね。

そうすれば
　ω^n = cos{[(2/3)k * n]パイ} + i*sin{[(2/3)k * n]パイ}
　　　　= cos[(2/3)knパイ] + i*sin[(2/3)knパイ]
　ω^2n = cos{[(2/3)k * 2n]パイ} + i*sin{[(2/3)k * 2n]パイ}
　　　　= cos[(4/3)knパイ] + i*sin[(4/3)knパイ]
なので
　ω^2n + ω^n + 1
= cos[(4/3)knパイ] + cos[(2/3)knパイ] + 1 + i*{sin[(4/3)knパイ] + sin[(2/3)knパイ] }
= 2cos{[(4/3)knパイ + (2/3)knパイ]/2} * cos{[(4/3)knパイ - (2/3)knパイ]/2} + 1 + i*( 2sin{[(4/3)knパイ + (2/3)knパイ]/2} * cos{[(4/3)knパイ - (2/3)knパイ]/2} )
= 2cos[knパイ] * cos{[(1/3)knパイ] + 1 + 2i*sin[knパイ] * cos{[(1/3)knパイ]

これより、n が３の倍数かどうかで場合分けをしているのです。「n が３の倍数」なら、
・k が偶数のとき
　cos[knパイ] = 1, cos{[(1/3)knパイ] = 1
・k が奇数のとき
　cos[knパイ] = -1, cos{[(1/3)knパイ] = -1
・sin[knパイ] = 0
であり、
　ω^2n + ω^n + 1 = 3
です。

n が３の倍数ではないときには
　cos[knパイ] = 1 かつ cos{[(1/3)knパイ] = -1/2
または
　cos[knパイ] = -1 かつ cos{[(1/3)knパイ] = 1/2
なので実数項は常に 0
かつ
　sin[knパイ] = 0
なので実数項は常に 0
ということで
　ω^2n + ω^n + 1 = 0
です。

No.7 回答者： springside 回答日時： 2019/02/11 21:29

No.4です。

補足です。

このωに関しては、

ω^1=ω
ω^2=ω^2
ω^3=1

ω^4=ω^3･ω=ω
ω^5=ω^3･ω^2=ω^2
ω^6=ω^3･ω^3=1

ω^7=ω^3･ω^3･ω=ω
ω^8=ω^3･ω^3･ω^2=ω^2
ω^9=ω^3･ω^3･ω^3=1

というふうに、指数が周期3で循環する性質があります。だから、指数が3の倍数かどうか（厳密には3で割った余り）で着目しているのです
この「ω^nは周期3で循環する」という性質は、必ず記憶しておくべきものです。

No.6 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/02/11 21:24

n が3の倍数ならω^nは 1 なので与式=3 になりますよね。

n が3の倍数出ない場合ω^n は
{-1-i√3}/2 か {-1+i√3}/2 のどちらかであり、それを2乗すると他方になるので与式=0 となるでしょう。

No.5 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/02/11 21:15

3.

ω={-1±i√3}/2,
ω²={-1∓i√3}/2,
ω³=1
であることから、
n が3の倍数の場合は 3
それ以外なら 0

5.
a/b≦c/d
両辺に bd (>0) をかけても不等号の向きは変わらないので
ad≦bc
ad-bc≦0

a/b-(a+c)/(b+d)
={a(b+d)-(a+c)b}/b(b+d)
=(ad-bc)/(b+d)b≦0

(a+c)/(b+d)-c/d
={(a+c)d-c(b+d)}/(b+d)d
=(ad-bc)/(b+d)d≦0

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/02/11 21:13

>>(3)は、なぜ、nが、3の倍数と、そうでない場合に分けているのでしょうか？教えていただけると幸いです。

って、(3)ではなく、「３．」のこと？

であれば、ωは1の（虚数の）立方根だから、ω³=1になる。
だから、指数の部分が3の倍数か否かで分類するのが正しいやり方。

つまり、n=3k（kは整数）なら、ω^n=ω^(3k)=(ω^3)^k=1^k=1　※1
n=3k+1なら、ω^n=ω^(3k+1)=ω^(3k)･ω=1･ω=ω　※2
n=3k+2なら、ω^n=ω^(3k+2)=ω^(3k)･ω^2=1･ω^2=ω^2　※3

なので、ω^(2n)は、
n=3kなら、ω^(2n)=(ω^n)^2=1^2=1　（∵※1）
n=3k+1なら、ω^(2n)=(ω^n)^2=ω^2　（∵※2)
n=3k+2なら、ω^(2n)=(ω^n)^2=(ω^2)^2=ω^4=ω^3･ω=ω　（∵※3、ω^3=1)

さて、ωは1の虚数立方根だから、
x³=1、つまり(x-1)(x²+x+1)=0の虚数解なので、x²+x+1=0を満たす。すなわち、ω²+ω+1=0である。

上記を踏まえ、
n=3kなら、与式=1+1+1=3
n=3k+1なら、与式=ω^2+ω+1=0
n=3k+2なら、与式=ω+ω^2+1=0

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/11 20:52

No.1&2 です。

「補足」に書かれた

＞(3)は、なぜ、nが、3の倍数と、そうでない場合に分けているのでしょうか？教えていただけると幸いです。

は意味不明です。
画像が違っている？

この回答へのお礼

3番の問題です。解答に、nが、3の倍数でないときは、0,nが、3の倍数の時は、3というのがわかりません。教えていただけると幸いです。解答に、そうかかれているのですが、実際に確かめるしかないのでしょうか？教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/02/11 21:07

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/11 20:49

ついでに「５」は

　a/b ≦ c/d
より、a, b, c, d は正であるから
　ad ≦ bc　　　①

従って、両辺に ab を加えて
　ad + ab ≦ bc + ab
→　a(b + d) ≦ b(a + c)
a, b, c, d は正であるから
　a/b ≦ (a + c)/(b + d)　　　②

同様に、①の両辺に cd を加えて
　ad + cd ≦ bc + cd
→　d(a + c) ≦ c(b + d)
a, b, c, d は正であるから
　(a + c)/(b + d) ≦ c/d　　　③

②③より
　a/b ≦ (a + c)/(b + d) ≦ c/d

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/11 19:59

「次の3問」ってどれ？

「問題３」ではないよね。「３」は「１の虚数立方根を～」とあるので、説明しようがありません。

「４」の (1)～(3) のことを指していますか？　だったらそう明記しないと。

(1) は(a)　　a>0 → a^2>0 であるが、a^2>0 → a>0 ではない。a<0 でもよいから。
(2) は(b)　　a=b=0 → a+b=0 であるが、a+b=0 → a=b=0 ではない。a=-b であればよいから。
(3) は(c)
　a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca
= (1/2)a^2 - ab + (1/2)b^2 + (1/2)b^2 - bc + (1/2)c^2 + (1/2)c^2 - ca + (1/2)a^2
= (1/2)[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ]
= 0
なので。

この回答へのお礼

3番、4番、5番です。教えていただけると幸いです。3番は、どうすればよいのでしょうか？教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/02/11 20:07