関数y=f(x)(≧0)に対し、a≦x≦b,-f(x)≦y≦f(x)で表される図形Aについて、 ①各

関数y=f(x)(≧0)に対し、a≦x≦b,-f(x)≦y≦f(x)で表される図形Aについて、
①各質量がmi(i=1,...,n)であるようなn個のおもりの位置がそれぞれxi(i=1,...,n)である時の重心の座標Xが、X=Σ(i=1,...,n)ximi/Σ(i=1,...,n)miであることを用いてAの重心を求める公式をリーマン積分の定義を用いて導け。
②[a,b]=[0,M](0<M),f(x)=e^(-x)とする時、Aを図示しその重心のx座標XM及びXM(M→∞)を求めよ。

①②片方だけでもいいので教えてください！

①について、平均値の定理とか使うのかなと思いつつもイマイチ計算方法とか示し方がわかりません、、、
②について、図示はできましたが、X座標てどうやってもとめるんでしょうか？？

全然わかってない状態で質問して申し訳ないです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/27 15:15

① おかしな問題ですね。

「重心」の定義を明確にしないままで
重心を計算する公式を導出せよと言っている。
幾何学の重心と物理学の重心もゴチャゴチャにしているし。
数学じゃなくて、物理のテストなのかな？

こういういいかげんな問題は、出題者の頭の中を覗かないと
何をさせたいのかよく判らないので、回答のしようがありません。
講義ノートにまるまる同じような話が出てきませんでしたか？
答案は、それに沿って書いとけばいいような気がします。

おそらく、A を厚さと密度が一定の板と見て、適当に分割して
xi, mi を f() が入った式で表し、分割数→∞ の極限をとると
リーマン積分の定義(区分求積法)から Σ のかわりに ∫ を使った
式が現れる... とやればいいのでしょう。話に質量を持ち込みながら、
使わせる式は x軸だけの1次元の積分というのも変な話で、
何を計算させたいのかも、いまひとつハッキリしないのですが。

数学の話をすれば、通常、この問題で導かそうとしている式が
「重心」という言葉の定義なので、導いたりできるものではない。
定義して終わり。本来は、それだけです。式は、結果的に
X = ∫[a,b]xf(x)dx/∫[a,b]f(x)dx になります。

② [a,b]=[0,M](0<M), f(x)=e^(-x) を上式にあてはめて、
∫[a,b]f(x)dx = ∫[0,M](e^-x)dx = [-e^-x]_(0,M) = 1 - e^-M,
∫[a,b]xf(x)dx = ∫[0,M](xe^-x)dx = [-xe^-x]_(0,M) - ∫[0,M](-e^-x)dx
= [-xe^-x]_(0,M) - [e^-x]_(0,M) = (0 - Me^-M) - (e^-M - 1),
X = (-Me^-M - e^-M + 1)/(1 - e^-M) = M/(1 - e^M) + 1.
分子の積分には、部分積分法を使いました。
極限を求めれば、lim[M→∞]X = lim[M→∞]{M/(1 - e^M) + 1} = 1.