55x+23y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。 x=-23k-5 , y=55k+12 は合って

55x+23y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。

x=-23k-5 , y=55k+12 は合っていますか？

No.7 回答者： nouble1 回答日時： 2019/04/07 00:23

あぁ　失礼、

間違えてましたね、
済みません。


では　もう一度、
例えば、
K=1、

χ=-23×1-5
=-28

ｙ=55×1+12
67

此を　最初の式に、
55×(-28)+23×67
=1541×1540
=1

成立の　ようですね


済みません、
惑わすような事を　書いてしまいました、
お詫びします。

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/06 17:25

55x+23y=1を満たす1組の整数解を見つけて

５５＊（－５）＋２３＊（１２）＝１・・・①
５５＊ｘ　　　＋２３＊ｙ　　　＝１・・・②
①－②＝５５＊（－５－ｘ）＋２３＊（１２－ｙ）＝０
　２３＊（１２－ｙ）＝５５＊（ｘ＋５）
２３と５５は互いに素なので１２－ｙは５５の倍数
ｘ＋５は２３の倍数よって、
１２－ｙ＝５５ｍ（ｍは整数）
ｘ＋５＝２３ｍ
ｘ＝２３ｍ－５
ｙ＝１２－５５ｍ
と高1で教わりましたでおまっせ。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/05 16:20

合っています

x,yを
55x+23y=1
を満たす整数とすると
55x=-23y+1
55x=1(mod23)
(23*2+9)x=1(mod23)
9x=1(mod23)
-45x=-5(mod23)
(-2*23+1)x=-5(mod23)
x=-5(mod23)
x=23n-5
となる整数nがある

23y=-55x+1
23y=1(mod55)
276y=12(mod55)
(55*5+1)y=12(mod55)
y=12(mod55)
y=55k+12
となる整数kがある

x=23n-5
y=55k+12
は
55x+23y=1を満たすから

1
=55x+23y
=55(23n-5)+23(55k+12)
=55*23(n+k)+23*12-55*5
=55*23(n+k)+276-275
=55*23(n+k)+1
だから
n+k=0
だから
n=-k
だから
x=-23k-5
y=55k+12
は
55x+23y=1を満たすすべての整数解である

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2019/04/05 11:04

NO1 さんは 検算の方法が 間違っていますね。

k=1 のときは x=-28, y=67 ですから、
55x+23y=1 →　55*(-28)+23*67=-1540+1541=1 で 合っています。

但し、問題に無い k と云う文字を 勝手に使ったのですから、
その説明が必要と考えますが。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/04/05 08:00

＞x=-23k-5 , y=55k+12 は合っていますか？

回答としては、５０点でしょうか。満点ではありません。

x=-23k-5 , y=55k+12 は
55x+23y=1 を満たす整数解になっているので確認できます。（５０点）

ところで、「すべて」であるという論拠は？

「x=-23k-5 , y=55k+12 は合っていますか？」
でなくて、

・・・の理由で全てである　（残り５０点）

の部分まで書かないと、
問：55x+23y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。
の満点の正解にならないと思います。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/04 19:14

合っています

x=-23k-5
y=55k+12

55x+23y
=55(-23k-5)+23(55k+12)
=-55*23k-55*5+23*55k+23*12
=-55*23k+23*55k-55*5+23*12
=-55*5+23*12
=-275+276
=276-275
=1

No.1 回答者： nouble1 回答日時： 2019/04/04 18:18

検算する　癖を、

付けられたら、

もう　少しは、
不安に　駆られずに、
済みますよ。


例えば、
K=1、

χ=-23×1-5
=-28

ｙ=55×1+12
67

67-28≠1

不成立の　ようですかね？