数学B漸化式です。 a1=1/5, an+1=an/(4an-1)によって定められる数列{an}の一

数学B漸化式です。
a1=1/5, an+1=an/(4an-1)によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
という問題で解答に、
an+1=0とすると、an=0であるから、an＝0となるnがあると仮定すると・・・と続いていくのですが、
なぜan+1=0とするとan=0と言えるのですか？
例えばan=-5n+10という数列を考えると
a2=0 でa1=5ですよね？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/22 19:54

a[n+1]=a[n]/(4a[n]-1) という関係式があって

a[n+1]=0 と仮定したならば、
方程式 0=a[n]/(4a[n]-1) を解いて a[n]=0 です。←[1]

それだけの話なのですが、その続きは...
どこかの n で a[n]=0 となったとすると、
[1]により k<n の全ての k で a[k]=0 となることになり、a[1]=1/5 に矛盾する。
よって背理法により、全ての n で a[n]≠0　...というものですね？
b[n]=1/a[n] と置いて漸化式を a[n+1]=4-b[n] と変形するために、
a[n]=0 にならないことが必要だったのでしょう。

しかし、それなら、a[1]=1/5≠0, a[n]≠0 ならば a[n+1]=a[n]/(4a[n]-1)≠0 と
数学的帰納法を前向きに使うほうが簡明でしょう。
凝り過ぎて、話を無駄に解りにくくしている印象があります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/22 14:56

漸化式：(an+1)=(an)/4(an-1)より

(an)=4(an-1)(an+1)だから
(an+1)=0と仮定するなら(an)=4(an-1)・０＝０ということです


ちなみに、この数列の一般項が仮にan=-5n+10であるとき
an=0となるｎがある…①と仮定すると
a1=5
a2=0
a3=-5
・・・
なので、an=0となるnは1つだけ（n=2だけ)存在するのでこの仮定①は嘘ではない（間違ってはいない）と言う意味になります。
つまり、「an＝0となるnがあると仮定すると」の意味は
数列の中に０となるものが少なくとも1個あると仮定する　と言う意味で、
a1,a2,a3・・・すべてが０であるという意味ではないです

ただ、「an+1=0とすると、an=0　（数列の中に連続して０になるものがあるという意味）」
と言う観点から考えれば
a1=0またはa3=0でなければならない事になり、矛盾です

で、実際はan=-5n+10ではないので
数列anの中に１つでも０となるものがあるのか、(数列の中に連続して０になるものがあるのか）
詳しく調べてあげないといけません。もし矛盾があるなら
an＝0となるnがあるという仮定は間違っている、→an≠０である　という論法です

No.1 回答者： tantanm 回答日時： 2019/06/22 14:05

“この問題の場合は” の話ですね．

a_[n+1] = / (4×a_[n-1]) なので，
右辺がゼロならば 左辺の分子 も当然ゼロです