上段に駐車したい車が、上下２段の駐車場の上段になれる確率

上段５、下段５の駐車場があり、１０台の車がそこに駐車する場合、上段に駐車したい車が上段に駐車できる確率はいくらか？
ルール：まずクジを引いて、駐車場所を決める順番を決める。その順番に従い、好きな場所に駐車していく。

極端な話、残りの９台が全て下段を希望した場合、クジの順番にかかわらず必ず上段に駐車できるので確率は１、
逆に全て上段を希望した場合は、クジ順が５位以内に入らないと上段に駐車できないので、確率は1/2になりますので、
他の車がどこに止まりたいかがわからないので、確率は計算できないのでしょうか？
期待値も求められないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• お礼を書いていて、気が付きました。
  
  「他の車がどこに止まりたいかがわからない」とは
  残りの各車は上段を希望、下段を希望、どちらでも構わないの３つの可能性があり、その生起確率は1/3であるという意味です。
  
  つまり、他の車の希望は、３^9通りあり、それらが等確率で生起するという条件です。
  
  この条件でも、確率は計算できないのでしょうか？
  期待値も求められないのでしょうか？

    補足日時：2019/07/23 07:29

No.6 回答者： fba 回答日時： 2019/07/25 00:19

…#2#4です。

>それぞれの状況、例えば
7位:(5/1)(4/2)(3/3)(2/4)(1/5)は等確率で生じるのでしょうか？
なんとなく、(3/3)の確率が高そうな気がしますけど・・・

　参加者それぞれが上下段を1/2で選ぶ（希望が半々）なら等確率ですね。

　希望者が7:3とかなら、実はそれぞれの参加者が希望通りになるかは抽選順位7位のところの確率と同じになります。見る方向が変わっただけで。

　計算した時のメモを見たら総合的な確率は0.835じゃなくて0.855でした。（どちらでも良い、は無いと仮定。順番が来たらどっちか選ぶ訳なので。）

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/23 23:46

上段も下段も空いているときに「どちらでも構わない」人はどうするんだろう.

この回答へのお礼

確かに！
上段４、下段１余っているとき、1/2の確率で上段を選ぶのか、4/5の確率で上段を選ぶのかで、確率、変わりますね。
どちらが現実に近いのかな・・・

候補の中から任意に選択で、「4/5の確率で上段を選ぶ」として計算お願いします。

お礼日時：2019/07/24 09:04

No.4 回答者： fba 回答日時： 2019/07/23 22:36

…手抜き過ぎた。

　#2です。

＞(b)6～10位になったとき、上段が空いている確率はなぜ0.5と言えるのでしょう？

　空いているかいないかだけの問題なので0.5で行けるかと思ったけど5分ほど検討したらちょっと甘かった。

抽選順位:（上段台数/下段台数）
6位:(5/0)(4/1)(3/2)(2/3)(1/4)(0/5)
7位:(5/1)(4/2)(3/3)(2/4)(1/5)
8位:(5/2)(4/3)(3/4)(2/5)
9位:(5/3)(4/4)(3/5)
10位:(5/4)(4/5)

　6～10位いずれでも左端以外は上段に入れるので、確率は5/6、4/5、3/4、2/3、1/2で、抽選順位1～5位ならば必ず希望通りになるから、合計したら0.835（検算はしてないから質問者にお任せする）。

>「他の車がどこに止まりたいかがわからない」とは
残りの各車は上段を希望、下段を希望、どちらでも構わないの３つの可能性があり、その生起確率は1/3であるという意味です。

　「どちらでも構わない」は不要ですね。それなら抽選に参加する必要がない＝希望のある人が先に選べばいい。で、実は上段希望者が何人いようと自分の希望が通るかどうかは自分より上位の順位の人の希望にしか依存しないので、上位の人がどちらを選ぶかだけ考えればいい筈。まあ、例えばどちらでも良いが3人いれば抽選順位は最悪でも7位なので、上記パターンの8位以下は抜いて計算しなきゃいけないか。

この回答へのお礼

再度回答ありがとうございます
それぞれの状況、例えば
7位:(5/1)(4/2)(3/3)(2/4)(1/5)は等確率で生じるのでしょうか？
なんとなく、(3/3)の確率が高そうな気がしますけど・・・

じっくり考えてみます。

お礼日時：2019/07/24 09:06

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/23 15:03

補足の仮定は、かなり人工的な感じはするが、

自分が上段に止められる確率を求めるには十分。

自分がクジで n 位に成る確率が 1/10。
n 位という条件下に、上段に止められる確率は、
1〜(n-1) 位に上段希望者が 5 人未満である確率なので、
n≦5 のとき p(n) = 1、
n>5 のとき p(n) = Σ[k=0..4]{(n-1)Ck}{(1/3)^k}{(2/3)^(n-1-k)}。
自分が上段に止められる確率は、
q = Σ[n=1..10]p(n)
= ((1/10)・1)・5 + Σ[n=6..10](1/10)Σ[k=0..4]{(n-1)Ck}{(1/3)^k}{(2/3)^(n-1-k)}
= 1/2 + (1/10)Σ[m=5..9]{(2/3)^m}Σ[k=0..4](mCk)(1/2)^k。
面倒くさいΣだが、有限項なので力技で計算すると、
Σ[m=5..9]{(2/3)^m}Σ[k=0..4](mCk)(1/2)^k
= Σ[m=5..9]{(2/3)^m}{ 1・1 + m(1/2) + {m(m-1)/2}(1/4) + {m(m-1)(m-2)/6}(1/8) + {m(m-1)(m-2)(m-3)/24}(1/16) }
= (1/384)Σ[m=5..9]{(2/3)^m}(m^4 + 2m^3 + 35m^2 + 154m + 384)
= (1/384){ 30976/81 + 91648/243 + 29696/81 + 765952/2187 + 2154496/6561 }
= 92510/19683.
よって
q = 1/2 + (1/10)(92510/19683)
= 38185/39366
≒ 0.97

この回答へのお礼

再度回答ありがとうございます。
やはり、かなりややこしいんですね。

n>5 のとき p(n) = Σ[k=0..4]{(n-1)Ck}{(1/3)^k}{(2/3)^(n-1-k)}。

ちょっと理解できないです。
自分より抽選順位が上位の人の中で、上段を希望するヒトがｋ人、そうでない人が(n-1-k)人で、上段を希望するヒトだけが上段を選択した場合の確率でしょうか？

じっくり考えてみます

お礼日時：2019/07/24 09:13

No.2 回答者： fba 回答日時： 2019/07/22 21:58

…0.75（3/4）じゃね？

　抽選順位1～5位なら必ず希望通りの上段、6～10位なら希望の上段が空いているかどうかがカギになる訳ですよね。であれば…

(a)1～5位になる確率0.5×上段に入れる確率1＝0.5
(b)6～10位になる確率0.5×上段が空いている確率0.5=0.25

　(a)+(b)＝0.75

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

(b)6～10位になったとき、上段が空いている確率はなぜ0.5と言えるのでしょう？

残り９人が上下どちらも希望がない場合なら、たしかに確率０．５の気がしますが、
残り９人の内、下段希望が５人以上いれば、確実に上段が取れるので、その場合は確率１
逆に上段希望者が５人以上いれば、確率０ですよね。
頭が混乱して、この先、どのようにまとめて良いかわからないんです。
引き続き回答お願いします。

お礼日時：2019/07/23 07:19

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/21 19:29

＞他の車がどこに止まりたいかがわからないので、確率は計算できないのでしょうか？

そのとおり。これは、たぶん確率の問題ではない。
１０台のうち何台が下段を希望するかが確率で記述できるなら、話は別だけど。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

「計算できない」ではこの先の議論ができませんので、
では、「どのような条件があれば計算できるのか」が知りたいです。

>１０台のうち何台が下段を希望するかが確率で記述できるなら、話は別だけど。
その「話」が是非、知りたいです。

お礼日時：2019/07/23 07:09