数Ⅲ 化学 半減期 時刻tにおける濃度x=x(t)がx=Ae^-ktで表される化学現象がある。(単位

数Ⅲ 化学 半減期

時刻tにおける濃度x=x(t)がx=Ae^-ktで表される化学現象がある。(単位無視)
Aとkは正の定数である。観測の結果、t=1のときx=12、t=4のときx=6であった。
(対数で答える必要がある場合は全て自然対数を用いること)

1)kの値
2)t=4の瞬間の濃度減少の速さ
3)濃度の半減期

1)~3)の答えもわからず、また求め方もわかりませわ。求め方を教えていただけると嬉しいです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/23 00:55

x(t) = A*e^(-kt)

のグラフが書けますか？

t=0 のとき
　x(0) = A

t=1/k のとき
　x(1/k) = A*e^(-1) = A/e

t→∞ のとき
　x(∞) → 0

これのちょっと応用として、
t=[ln(2)]/k のとき
　x(t) = A*e^[-ln(2)] = A*e^[ln(1/2)] = A/2
になるのは分かりますか？

この４点ぐらいがあれば、グラフが書けるでしょ？
↓　このサイトにあるようなグラフになります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B …
https://www.ene100.jp/%E6%94%BE%E5%B0%84%E8%83%B …

このグラフが書ければ、あとは「想像」できるでしょ？

(1) 単純に代入すればよいだけ。
・t=1のときx=12なのだから
　　12 = A*e^(-k)　　　①
・t=4のときx=6なのだから
　　6 = A*e^(-4k)　　　②

①を
　e^(-k) = 12/A
として自然対数をとれば
　-k = ln(12/A) = ln(12) - ln(A)　　　　　③
②を
　e^(-4k) = 6/A
として自然対数をとれば
　-4k = ln(6/A) = ln(6) - ln(A)　　　　　④
③ - ④より
　3k = ln(12) - ln(6) = ln(12/6) = ln(2)
→　k = (1/3)ln(2)　　　　　　　　　　　　⑤

(2) 「濃度現象の速さ」って、dx/dt だということが分かりますか？　つまり「濃度のグラフ」の接線の傾きです。
　x(t) = A*e^(-kt)
なのだから
　v(t) = dx/dt = -kA*e^(-kt) = -kx

t=4 のとき x=6 なのだから、⑤を使って
　v(4) = -6k = -2ln(2)

(3) 上のグラフを書くところでも書いちゃったけどね。半減期を T とすれば
　x(T) = (1/2)x(0)　　　　⑥
だから
　x(0) = A
　x(T) = A*e^(-kT)
より、⑥は
　A*e^(-kT) = (1/2)A
→　e^(-kT) = 1/2
両辺の自然対数をとって
　-kT = ln(1/2) = -ln(2)
よって
　T = (1/k)ln(2)
⑤を使えば
　T = 3

これは「t=1のときx=12、t=4のときx=6」なので「時間間隔３で半分になっている」ことから自明ですねどね。

この回答へのお礼

回答感謝いたします。確かに問題文からも半減期わかりますね、気づきませんでした。ありがとうございました。

お礼日時：2019/07/23 09:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/23 01:07

(1)

x=Ae^-kt に (t=1 のとき x=12) と (t=4 のとき x=6) とを代入して、12=Ae^-k, 6=Ae^-4k.
辺々割り算して、12/6 = (Ae^-k)/(Ae^-4k) = e^3k.
両辺の対数をとれば、log 2 = 3k. よって、k = (log 2)/3.

(2)
濃度の変化率は (d/dt)x(t) = (d/dt)Ae^-kt = -kAe^-kt = -kx(t) で、
「減少の速さ」と呼ぶべきものは kx.
これに t=4 を代入して、kx = {(log 2)/3}・6 = 2 log 2.

(3)
時刻が t=s から t=s+T になると、x の比は x(s+T)/x(s) = (Ae^-k(s+T))/(Ae^-ks) = e^-kT.
時間 T の経過によって x の値は e^-kT 倍になる。
1/2 倍になるのに要する時間は、e^-kT = 1/2 を解いて、T = log(1/2)/(-k) = 3.

この回答へのお礼

回答感謝いたします。非常にわかりやすく、無事解けました。ありがとうございました。

お礼日時：2019/07/23 09:36