重積分

f(x,y)=√1-x^2としたとき
(a)∫[-1,1]dx∫[-1,1]dyf(x,y)
(b)∫∫[x^2+y^2≦1]f(x,y)dxdy
の解き方を教えて下さい。特に(b)が分からないです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/19 22:25

(b)は、極座標変換したらどうですか？

(x,y)=r(cosθ,sinθ), r≧0, -π<θ≦π で変換して、
S = ∬[x^2+y^2≦1] f(x,y) dxdy
= ∬[-π<θ≦π,0≦r≦1] f(x,y) rdrdθ
= ∫[-π<θ≦π]∫[0≦r≦1] √( 1 - (r^2)(cosθ)^2 ) rdrdθ です。

∫ √( 1 - (r^2)(cosθ)^2 ) rdr = ( 1 - (r^2)(cosθ)^2 )^(3/2) / (-3 (cosθ)^2) + (定数)
より、
S = ∫[-π<θ≦π]{ ( 1 - (cosθ)^2 )^(3/2)/(-3 (cosθ)^2) - 1/(-3 (cosθ)^2) }dθ
= (1/3)∫[-π<θ≦π]{ ( 1 - |sinθ|^3 )/(cosθ)^2 }dθ
= (2/3)∫[0≦θ≦π]{ ( 1 - |sinθ|^3 )/(cosθ)^2 }dθ　; 被積分関数が偶関数だから
ただし、この積分は θ = π/2 の近傍で広義積分です。

∫ ( 1 - (sinθ)^3 )/(cosθ)^2 dθ = ∫ 1/(cosθ)^2 + (-sinθ){1/(cosθ)^2 - 1} dθ
= tanθ - 1/(cosθ) - cosθ + (定数)
より、
S = (0 - 1/(-1) - (-1)) - (0 - 1/1 - 1) = 4.

(a)は、式の解釈に説明が必要ですね。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/20 01:59

(b) は極座標に変換せず素直に逐次積分にした方が簡単な気がする. f(x, y) は y に関係ないから, y での積分は一瞬で

終わるよね.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
その時って、仮にyから積分をするとしたら、範囲ってどうなりますか。
いまいち、範囲がDとして表された時の、累次積分を用いる際の処理が分かりません。

お礼日時：2019/08/20 09:49

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/20 23:07

x^2 + y^2 ≦ 1 から, x を使って y の範囲は書けるよね?